由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的常用策略

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1、化歸思想在遞推數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中，解決數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，尤其是運(yùn)用化歸思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來研究，是解答數(shù)列問題的最基本的思維方向。本文就教學(xué)中積累的運(yùn)用化歸思想求解遞推數(shù)列通項(xiàng)公式做一總結(jié)，供參考。運(yùn)用化歸思想求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，其思路是通過恰當(dāng)變換遞推關(guān)系，將非等差非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列而求得其通項(xiàng)公式?；瘹w與轉(zhuǎn)化的原則是：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化

2、為簡(jiǎn)單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、特殊的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于解決。轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型主要有：已知與未知的轉(zhuǎn)化；部分與整體的轉(zhuǎn)化；具體與抽象的轉(zhuǎn)化；特殊與一般的轉(zhuǎn)化；不等與相等的轉(zhuǎn)化；運(yùn)動(dòng)與靜止的轉(zhuǎn)化；分散與集中的轉(zhuǎn)化；幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化；陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化；高次與低次的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化；綜合與基本的轉(zhuǎn)化；順向與逆向的轉(zhuǎn)化；常規(guī)與技巧的轉(zhuǎn)化；高維與低維的轉(zhuǎn)化；正面與反面的轉(zhuǎn)化解題方法：運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的依據(jù)或步驟主要是要明確三個(gè)問題：（1）明確化歸對(duì)象，即對(duì)什么問題轉(zhuǎn)化，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的根基；（

3、2）認(rèn)清化歸目標(biāo)，即化歸到何處去，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的目標(biāo)；（3）把握化歸方法，即如何進(jìn)行化歸，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵。運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的主要轉(zhuǎn)化方法有：待定系數(shù)法、作差法、倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法、換元法、配湊法等。一、一階線性遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是分離常數(shù)法或作差法。例1、在數(shù)列的通項(xiàng)公式？解法1：設(shè)比較，得，所以有為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列解法2：兩式相減得：是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由累加法得點(diǎn)評(píng)：本例運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，化一般為特殊，以化歸為特殊數(shù)列為目標(biāo)，通

4、過分離常數(shù)法、作差法手段實(shí)現(xiàn)了化歸目標(biāo)。二、一階分式遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是取倒數(shù)法。例2、已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式？解：，兩邊取倒數(shù)得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，例3、已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式？解：兩邊取倒數(shù)得：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：上述兩例運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想，以化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列為目標(biāo)，通過取倒數(shù)手段實(shí)現(xiàn)了化歸目標(biāo)。三、一階遞推公式（1）若，此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公

5、式求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是兩邊同除以得：，令，，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。例4、已知數(shù)列滿足，，求解：由已知得設(shè)，故有是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列點(diǎn)評(píng)：本例中運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想，通過換元法手段將一階遞推公式轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解。四、二階線性遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例5、數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式？解：設(shè)比較得：或或是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列或數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列或易得：，由適合所以