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《數(shù)列專題——數(shù)列不等式證明——放縮技巧》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、數(shù)列不等式證明——放縮技巧等比數(shù)列直接放縮9．（2017?大理州二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．（1）當(dāng)q=1，d=2時，求a2017的值；（2）當(dāng)q=3，d=﹣2時，記，Sn=b1+b2+b3+…+bn，證明：．【解答】（1）解：∵數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=qan+d（q，d為常數(shù)）．∴當(dāng)q=1，d=2時，an+1﹣an=2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4，公差d=2的等差數(shù)列，∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2，∴a2017=2×2017+2=4036．（2）證明：當(dāng)q=3，d=﹣
2、2時，an+1=3an﹣2變形得an+1﹣1=3（an﹣1）∴數(shù)列{an﹣1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．14．（2017?前進(jìn)區(qū)校級三模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且a1=3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1+1，（n≥2，n∈N*），即an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴an+1=2（an﹣1+1），∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；…..（3分）又a1+1
3、=3+1=4，∴，…（5分）∴；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此…（9分）=…..（11分）．…（12分）19．（2017?和平區(qū)三模）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an﹣（n﹣1）q﹣1，其中n∈N*，q為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)q=0時，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）當(dāng)q＞1時，對任意n∈N*，且n≥2，證明：+++…+＜1．解：（Ⅰ）∵Sn=2an﹣（n﹣1）q﹣1…①，∴當(dāng)n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣2）q﹣1…②，①﹣②得an=2（an﹣an﹣1）﹣q?an=2an﹣1+q．故
4、當(dāng)q=0時，，a1=s1=2a1﹣1，∴a1=1．即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得an=2an﹣1+q．，a1=1．當(dāng)q＞1時，an=2an﹣1+q＞2an﹣1+1，即∴＞2n﹣1∴，．則：+++…+＜++…+=1﹣＜1．∴+++…+＜1差比型直接放縮11．（2017?南開區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足=2n﹣1（n∈N*），設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明Tn＜6．解：（1）由a
5、nan+1=4Sn﹣1．a(chǎn)n+1an+2=4Sn+1﹣1．得an+1（an+2﹣an）=4an+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=4，a1=1，a1a2=4s1﹣1，可得a2=3．可得數(shù)列{a2n﹣1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，∴a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1．可得數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列．∴a2n=4n﹣1=2?2n﹣1，綜上數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1（2）由得=2n﹣1（n∈N*），，（2n﹣3）+（2n﹣1）；=1+3+…+（2n﹣5）+（2n﹣3）（n﹣1+（2n﹣1）∴=1+2
6、[﹣（2n﹣1）=1+=3﹣∴∵n∈N+，∴裂項(xiàng)放縮類型6．（2017秋?陸川縣校級期末）已知數(shù)列{an}是非常值數(shù)列，且滿足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），其前n項(xiàng)和為sn，若s5=70，a2，a7，a22成等比數(shù)列．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．解：（I）因?yàn)閿?shù)列滿足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），所以{an}是等差數(shù)列且s5=70，∴5a1+10d=70．①…（1分）∵a2，a7，a22成等比數(shù)列，∴，即．②…（3分）由①，②解得a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去）
7、，…（4分）∴an=4n+2．…（5分）（II）證明：由（I）可得，所以．…（6分）所以==．…（8分）∵，∴．…（10分）∵，∴數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，∴．…（11分）∴．…（12分）8．（2017?贛州二模）已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，前n項(xiàng)和為Sn，S5=25，S1，S2，S4成等比數(shù)列．（1）求an與Sn；（2）設(shè)，求證：b1+b2+b3+…+bn＜1．解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由S5=25可得a3=5，得a1+2d=5…①又S1，S2，S4成等比數(shù)列，且S1=a1，S2=2a1+d，S4=4a1+6d，所
8、以，整理得，因?yàn)閐≠0，所以d=2a1…②聯(lián)立①②，解得a1=1，d=2，所以．證明：（2）由（1）得，所以b1+b2+b3+…+bn==．∴b1+b2+b3+…+bn＜1．12．（2017?安徽二模）已知
