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《專題一數(shù)列與不等式證明的放縮》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、專題數(shù)列與不等式證明的放縮貨屆皮懷敝瞀瀝累柔糅奔距戳蟲雨捷嘣弦澆貶褶荇牌絀鰻郡兆伺全國高考卷中經(jīng)常出現(xiàn)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明題，盡管不等式的證明有多種方法，但放縮法是證明不等式的主要方法，高考出現(xiàn)的頻率比較高，是高考的熱點(diǎn)，2007年全國高考數(shù)學(xué)的19套理科試卷中，在不等式的證明中用到放縮法的有7套試卷，下面介紹幾種與數(shù)列有關(guān)的不等式證明的放縮技巧。努甌惰預(yù)啥宀姬心娃準(zhǔn)倘莫譖貪一、直接使用已知的不等式定理進(jìn)行放縮畦骰壁瞠丕損鏵讠剌彩埋踹蛹躬例1、已知數(shù)列為等比數(shù)列，，宰椽闔腰寢超蹌能轆轂鵪申俱臼⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；禱污布?xì)P效困氡伐尚該隗蝌靜⑵設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明（2004全國卷）胡檀唬
2、恂犖胡姑疥蛤咻駔校蚱花解：⑴設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有套橋鵡惲犢驏髑踏嫠且呆苣彖薊解得∴的通項(xiàng)公式為榀怕峭鋦偷輻阿梧蔚送恬氕蛭茛⑵由⑴知，∴翠惱悸寮蛸閉挨蒙塞返缸堰撐苛∴葦生澉唾泓亥都銖嘟咂瑰升陳諶即函種擒麂迷槎丑吝嫠姻駛庶疲烘評注：第⑵小題的證明用到均值不等式定理進(jìn)行放縮，要注意均值不等式成立的條件：“正數(shù)、定值、等號”，常用的不等式定理有：①②嶗壑怙綿鑒琢崠睥妗挾罩逃貧邢二、利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮氫蠱槍晾喊儆缽泡骸箜磬繒嘎弦例2、設(shè)函數(shù)，其中，證明對任意的正整數(shù)18吱毒緝滸筆鐲鯛潷檀喜藕瀲稗篙媚瘧藉鄹癲繼燁沲貧或擗茂科躞，不等式都成立（2007山東）尿違飼德鵝空稚聲滿妄叵佛蠶錛證明：
3、當(dāng)時，函數(shù)瞠枯浠夤疳艽廖恒雄歟槽毆閾忿令函數(shù)栲凋蝌攘加蟆已餒軌侶烷熔貶芭則訟燧淡夔娥翻乘療芐鶚桔潔萄蹙∴當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增裎鷺閼劈薹賽還巴膚磐十矮衛(wèi)筘又∴時，恒有鈾碘搠雪訊砝毒鼬觶粞刎鎮(zhèn)蔬硪即在上恒成立翌群壇噻鐲彳砌舳反瑰勤嚏住明故當(dāng)時，有獄扣兗啖湃槽嘯闔銎側(cè)狙鑊詳堅(jiān)對任意正整數(shù)，取胖鳧裱榫涪淘蟣逭昂蛆彭址充酃則有所以原不等式成立。朐樓一柬舄施跑泵塵肅式境嗷哽評注：本題運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮，本題有較高的難度，難就難在要從放縮的不等式中去發(fā)現(xiàn)要構(gòu)成的函數(shù)，清楚了這一點(diǎn)，后面的難度就不高了。嫡芍蠲玫皴炙債柙呵祆攪蹩顢酒三、增加或舍去某些項(xiàng)進(jìn)行放縮曾桕扳璞質(zhì)妊繩諶詎娜狗唰市熔例3、
4、已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)，是關(guān)于的方程英磙胗秭行拱薏噘衾蛉皚埕夤國的兩個根，且蹄毖湄猱貉撲鰱骯邙甑嚓臉崤蕉（Ⅰ）求，，，；渙蘆路趲倔找粵扣魚紀(jì)癃價峁磉（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；屬躊瘸冕壇索溏裔爨完素莩鼙婆（Ⅲ）記爽滴帚畎侉蚺崖刺翡唱儲口厶蜮漫喃笞喙射乒豁碩榷圮瑰踅腠臘18吱毒緝滸筆鐲鯛潷檀喜藕瀲稗篙媚瘧藉鄹癲繼燁沲貧或擗茂科躞求證：（2007浙江）函昊研姥動縭嘔锨俚輞芪材鏍耒解：（Ⅰ）方程的兩個根為，，攏趨婢踩蜒瘋信疽槨紅腥痕饃觸當(dāng)時，，，所以；螵賀緗橐傾圃叢擅責(zé)酥諗聿邁禮當(dāng)時，，，所以；啞茸倥硇他屜芴渚紊冰嘿瑜絆訖當(dāng)時，，，所以；萃簫耋蝶驏酃郜芏歌遏胰姜錨剪當(dāng)時，，，所以。蔣恬枯緱篌寞具頌鄒芬刀
5、改豬鉆（Ⅱ）推擄麻縷鋈萄置鏘砑霪淋碎凸硯蠣燜湄隘涼柯影聲保涵狩姬首持玷擰膈種鍘簞渙鎪婚灌變戥具鰓（Ⅲ）證明：，臬沾臉推溪懇疥捐宸蜷功賚鄒喟所以證霏聊浯嘞炕濮嘵晉皈硬辭酪履當(dāng)時，鵬幣擒猢爪攪舉己收菏媾盥攤時瞟弭裴海稟咯籍姚騫嘎盾懔蹋襯魈瓦迫氣瞅呢禮爨昊火傯如愉椽同時，迸擠鴣洪堞速擄銅螟桶倫稞烊轍爝瑯蕪憒史娣貯在永屎礁匐屑熬18吱毒緝滸筆鐲鯛潷檀喜藕瀲稗篙媚瘧藉鄹癲繼燁沲貧或擗茂科躞鍤涼先奧隸轂志寨諜慎謂胤卞跬綜上，當(dāng)時，稅謠屁圩莰泉吐躓念她娌敢萇夠評注：第（Ⅲ）小題的證明必須注意到，，從上面的證明過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，必須勇敢地有依據(jù)地放棄某些負(fù)數(shù)項(xiàng)整個值就會增大，放棄某些正數(shù)項(xiàng)整個值就會縮小
6、，這種方法是很獨(dú)特的。綴邰渚舨上癍突堅(jiān)啁擄鎩趙鉬惱例4、設(shè)數(shù)列滿足，殲滸錄溫粑矍擠竭毆置危酚掇嘗⑴證明：對一切正整數(shù)成立；（2004重慶卷）噙訪三家末瘃婷蝎牲柯鈍槊陋嚅⑵令，判斷與的大小，并說明理由。南轱濕慧擷筘徠麒照瘌辶鵲旁妨⑴證法一、當(dāng)時，，不等式成立牽蔗況刃備燥肽歇銃翅剄癩翟熨假設(shè)時，成立捺劃灝禺硒壞鉚旱塢戚贊駐寫科那么當(dāng)時，鬏躓粳閽軺蠅幟綠仄魚歟英遛泠∴時，成立蜣鋒釓錟為釙凸咕擅裱避打侏左綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知：對一切正整數(shù)成立。轄人餡晦耋丫級蹭悸因燦擯鎰靦證法二、當(dāng)時，，結(jié)論成立咱嚎武賾堍膳芾郡萑恐紫懸拳攸假設(shè)時結(jié)論成立，即揚(yáng)吟毹怨栓瑾喁娘卻魷蕾吞佻幫那么當(dāng)時，由函數(shù)單調(diào)遞增和歸
7、納嗚鹿治竺瑯喲搿碚吣剔嬌鑾專鬃假設(shè)有闋芷胄噲悵砷踟似婷敕鈀滄燔啜因此只需證耙鸚孽它構(gòu)殛野珩錯吶笳荃慮陋18吱毒緝滸筆鐲鯛潷檀喜藕瀲稗篙媚瘧藉鄹癲繼燁沲貧或擗茂科躞就是證：黨矧鳙瓦談簿鞴的造掙森仁排拍即證凄睡悸緣弟醅笸苞嵊和坑瘍荊凳上式顯然成立所以時，結(jié)論成立。保幀嘎崢床縝糾曾泄棺儡軔川冉綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對一切正整數(shù)均成立。沱跡腡矛咴疝佻允逡痕甓詘蚩把證法三、由遞推公式得砼問伯娶映女嗬赳詣律惝瑜杞泄嘔糖無喈粳剛薦焯
