應矩理論下梁的變形

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1、http://www.paper.edu.cn應矩理論下梁的變形新概念彈性理論（5）123韓文壩，蔡冰清，韓曉東1中國石化總公司揚子石油化工股份有限公司，南京（210048）2哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱（150001）3深圳岱宇實業(yè)有限公司，深圳（518035）[1]摘要：應矩理論證明了純彎曲體內無正應力，證明了彎應矩（單位面積彎矩的極限）不[1]為零。因此，對應力理論下推導出來的撓曲線微分方程要修正為用應矩表示的撓曲線微分方程。而應力理論下設計的梁尺寸越大越不能滿足剛度要求，保證剛度要求的尺寸，稱為臨界尺寸。本

2、文推導出不同截面梁的臨界尺寸。正方形梁的臨界尺寸為邊長am*30=m，矩形梁高hm*30=m，及圓形梁直徑Dm*34=m為臨界尺寸。凡小于臨界尺寸的梁都能保證剛度要求，凡大于臨界尺寸的梁都不能滿足剛度要求，尺寸愈大，剛度下降的應愈利害。推導出應力理論下的轉角和撓度與應矩理論下的扭角和撓度的當量關系式。同時得出：兩種理論下的轉角和撓度的公式形式不變。應矩理論下的轉角和撓度只要把應力理論下公式中的E換成G，把I換成S即成為應矩理論下的變形公式。通過用兩種理論對轉角和撓度對比計wzz算得出：當梁的尺寸大于臨界尺寸時

3、，應矩理論下的變形要比應力理論大的多，說明應力理論不能保證剛度要求。關鍵詞：撓曲線微分方程，端面轉角，最大撓度，臨界尺寸5.1前言彎曲變形如果達不到要求會造成磨損不勻，產生噪音，降低壽命，影響加工精度等。而應矩理論得出，凡大于臨界尺寸的梁，其轉角和撓度都嚴重超標。這就找到了加工產品精品不夠的根本原因。用兩種理論下?lián)隙然蜣D角相等時，推導出來的臨界尺寸與用彎曲變形能推導出來的臨界尺寸完全相同。兩種理論下變形公式的形式相同，只要把拉伸彈性模量E換成彎曲彈性模量；把慣性矩I換成絕對靜矩S就可以了，不需要對不同形式，受

4、不同載荷zz的梁重新做一一推導。由于梁變形剛度的臨界尺寸與強度的臨界尺寸完全相同，因此對彎曲的細長桿及短梁下一個完整的定義：凡小于臨界尺寸的梁（碳素剛圓梁為D*3≤4mm，短形和方形梁hm*3≤0m）定為細長梁；現行彈性理論的公式只適用于細長梁；凡大于臨界尺寸的梁稱為短粗梁，應矩理論的新公式適用于短粗梁。這就找到短粗梁斷裂事故經常出現的根本原因，及轉角和剛度不能滿足要求的根本原因，是彈性基礎理論錯誤造成的。5.2應矩理論下梁的撓曲線微分方程[2]正應力理論推導出梁的撓曲線近似微分方程為2dyM=（5.1）2d

5、xEIz而應矩理論認為撓曲線是由彎矩產生的，不是正應力產生的，因此不能用拉伸虎克定律推導其公式，而是要用彎曲定律和彎應矩的公式來推導。-1-http://www.paper.edu.cn圖5.1梁橫截面上距中性軸為y處的線應變Figure5.1linestraininthesectionofgirder(y)由圖5.1（a）的矩形截面梁，在P作用下變形為凹曲線，在X處，取微段dx。其曲率半徑為ρ，轉角為θ。如圖5.1（b）所示，在距離中性軸為Y處的線應變?yōu)棣牛瑒t有（詳y見材料力學的推導）yε=（a）yρ[3]

6、由彎曲定律得y處的彎應矩為m=Gε（4.1）xzwy[3]由彎應矩公式得y處的彎應矩為M(x)m=y（4.5）xzSz把（a）式和（4.1）式代入（4.5）式，可得M(x)1=（5.2）GSρwz由高等數學可知，曲線y=f（x）的任一點曲率公式為2dy1dx2=±（b）3ρdy2[1+()]2dx由（5.2）式和（b）式，可得2ayM()xdx2=±（c）3GwSzdy22[1+()]dx（c）式就是應矩理論下的撓曲線微分方程。dydy2由于梁是小變形，且梁的撓曲線為一平緩曲線，故轉角=?遠小于1。()比1d

7、xdxdy2更小。因此()可略。（c）式就變成dx-2-http://www.paper.edu.cn2()dyMx±=（5.3）2dxGSwz（5.3）式就是撓曲線近似微分方程。微分方程中正負號的選取。（5.3）式左邊的正負號取正還是取負，決定于坐標系的選取和彎矩符號規(guī)定。2dy在選定y坐標向上的情況下，如圖5.2，彎矩M(x)與二階導數符號總是相同的。2dx2dy圖5.2a中彎矩M()x是正的，而二階導數也是正的。圖5.2b中，彎矩M()x是負的，2dx而二階導數也是負的。故（5.3）式成為2()dyMx

8、=（5.4）2dxGSwz上式就是計算撓度和轉角的撓曲線近似微分方程。圖5.2彎應矩與二階導數的正負號總是相同的Figure5.2bendingMPUAhasthesamesignwithtwodegreedifferentialcoefficient5.3積分法求梁的變形dy已知梁的轉角?=（5.5）dxdyM(x)由（5.4）式有，?==dx+c（5.6）m∫dxGSwz（5.6）式為轉角方程。