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《高數(shù)期中試題和解答》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、武漢大學電信學院2009－2010學年第二學期高等數(shù)學期中考試試卷1．（6分）求過點且與直線垂直相交的直線方程。2．（6分）給出平面與二次曲面相切的條件并說明理由。3．（12分）設函數(shù)，問在原點處：（1）偏導數(shù)是否存在？（2）偏導數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說明理由。4．（6分）設，其中為可微函數(shù)，且，試證明：。5．（6分）設方程確定可微函數(shù)，求。6．（9分）設函數(shù)滿足且，，求，，。7．（8分）已知點與，在平面上求一點M，使得最小。8．（6分）設是矩形域：，，計算二重積分。9．（6分）計算積分，其中是由平面與三個坐標面所圍成的空間區(qū)域。10．（6分）設空間區(qū)域，，求。11．（6分）計
2、算，其中是由曲線在第一象限中所圍成的區(qū)域。1012．（6分）設為連續(xù)函數(shù),且，證明：。13．（8分）求直線繞軸旋轉一周的旋轉曲面的方程，并求該曲面與所包圍的立體的體積。14．（6分）設一球面的方程為，從原點向球面上任一點Q處的切平面作垂線，垂足為點P，當點Q在球面上變動時，點P的軌跡形成一封閉曲面S，求此封閉曲面S所圍成的立體的體積。15．（3分）設在上有連續(xù)的二階導數(shù)，，，且二元函數(shù)滿足，求在的最大值。101、解：過已知點與已知直線垂直的平面方程為：求出已知直線與該平面的交點為，直線MN即為所求，其方程為：2、解：設平面與曲面相切的切點為，則有，消去得所求條件為：，當分母為零時，分子
3、相應也為零。3、解：（1）；。（2）當時，，因為，所以同理10所以兩個偏導數(shù)均連續(xù).(3)因為的兩個偏導數(shù)在點均連續(xù)，所以在點可微.4、解：則5、方程兩邊微分得：，整理得：，所以.6、在兩邊對求導得：,將條件代入上式得：，在兩邊對求導得：在兩邊對求導得：聯(lián)立（1）（2）兩式并注意到解得：10說明：此題應該加上條件：具有連續(xù)的二階偏導數(shù).7、解：首先將點的坐標代入計算出結果均小于，所以點位于平面的同側.過點P且與平面垂直的直線方程為，該直線與已知平面的交點為，由中點公式可求出點關于已知平面的對稱點為，于是，從而過點和點的直線方程為，此直線與平面的交點為，點M即為所求.8、作直線將積分區(qū)域
4、分成兩部分，其中原式=（用到輪換對稱性）109、解：10、解：注意積分區(qū)域關于平面對稱，關于為奇函數(shù)，故11、解：令，，則曲線方程為：，的范圍為，于是1012、證明：右邊令，即，則，記,右邊（輪換對稱性）左邊.13、設點為旋轉曲面上任意一點，它由直線上的點繞軸旋轉得到，則有，消去得旋轉曲面的方程為：10（用切片法計算所求體積:)14、設點為曲面上任一點，點為球面上任一點，則有：球面在點的法向量為點切在切平面上，即：由垂直于切平面有：聯(lián)立（1）（2）（3）消去得曲面方程為：該曲面的球面方程為，從而體積為：.15、解：，同理可得：10代入條件整理得：記，上式寫為：，這是一個以為自變量，為未
5、知函數(shù)的歐拉方程.令，則，，代入歐拉方程得：這是一個以為自變量，為未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性齊次微分.其特征方程為：，特征根為，從而（2）的通解為,變量代會得到（1）的通解為：，代入初始條件得：，，故（1）的特解為下面求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.10，令得駐點為，，所以為函數(shù)在區(qū)間上的極大值點，唯一的極大值點也是最大值點，所以所求最大值為：10
