三角函數值內插法的探討

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1、三角函數值內插法的探討投稿類別：數學類篇名：三角函數值內插法的探討作者：陳怡妙。私立立人高中。高三14班指導老師：許芳成老師0三角函數值內插法的探討壹●前言一、研究動機高二上學期第一章三角函數，學到以內插法求三角函數值的近似值：『想求sin31.22'?。因為查表只能得到：sin3120'?、sin3130'?，所以用內插法求三角函數值sin31.22'?的近似值』老師講解內插法時，說明內插法是將已知函數兩點間的變動情形視為直線?，F在高三學到三角函數圖形，在0°~180°之間，顯然為y=sin(x)凹口向下的曲2

2、線，比較像拋物線。使我想到：如果用拋物線函數(y=ax+bx+c)來做為正弦函數的近似圖形，應該可以更精準。2y=sin(x)y=ax+bx+c二、研究目的我想探討的方向是：如果用拋物線取代直線，(1)要怎麼算計算？(2)所求得的近似值會不會較為精確？(3)精確度可以提升多少？貳●正文一、內插法的幾何意義：三角函數內插法的計算方式為：若已知sinxy?，sinxy?，x??xx，且x、x相當接近，取sinxy?11221212????xy?11????x??x??xy?yy11??x??x??xy?yy21??2

3、2211三角函數值內插法的探討x?xy?yx?x111取??y?sinx?y?(y?y)121x?xy?yx?x212121以圖形說明如下：附圖一：y=sin(x)與y=a+bx的圖形。已知A(x1,y1=sin(x1))、B(x2,y2=sin(x2))，x1

4、0.5200、sin31°30'=0.5225，求sin31°22'的近似值課本原解：由sin31°20'=0.5200、31°30'=0.522531°20'-------0.520031°22'---------y31°30'--------0.52252三角函數值內插法的探討2220??y0.5200代入公式?3020??0.52250.5200解得y=0.5205因為課本後面的三角函數表的值，只有到四位小數，已經有誤差，所以我用電腦的EXCEL計算，sin(31°20')、sin(31°30')函數值是電

5、腦算出的值，較精確。內插法值是用上述的較精確值去計算，此時誤差約為0.000000353三、以拋物線來求近似值因為y?sin?的變動情形(在第一象限的圖形)顯然不是直線，而是一個凹口向下的曲線，比較接近開口向下的二次曲線(拋物線)，我想：如果用拋物線取代直線，應該可以求得較精確的近似值。我用高一上所學的拉格朗日插值法，取三個已知的三角函數值A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，得到一個過A、B、C三點的二次曲線(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)231312fx()?y?y

6、?y123(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)(x?x)121321233132本題，除了原有的31°20’、31°30’外，我加上第三個角度31°10’、、做為已知的三點，用前面的二次拉格朗日插值式(以下簡稱『二次插值法』)，計算近似值：先用EXELL算出三個角的SIN函數值Sin(31°10’)=0.517529291，Sin(31°20’)=0.520016128，Sin(31°30’)=0.522498565再代入二次拉格朗日插值式：3三角函數值內插法的探討(2220)(2230)??(22

7、10)(2230)??y??0.517529291*0.520016128*0(1020)(1030)??(2010)(2030)??(2210)(2220)???0.522498565*(3010)(3020)??算出y0=0.520512968綜合整理得到：角度函數值二次插值法誤差值度分sin(x)31100.51752929131200.52001612831300.52249856531220.5205129680.520512967-0.000000001此時求出的誤差值縮小約300分之一四、我再嘗試用

8、較為寬鬆的30°、31°、32°的三角函數值，來估算sin3122'?時，得到相當與用31°20’、31°30’相當(好一點)的近似值：角度函數值二次插值法誤差值度分sin(x)3000.5000000003100.5150380753200.52991926431220.5205129680.520512727-0.000000241相對的，如果是用31°、32°，以內