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《回歸分析與協(xié)方差分析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、回歸分析與協(xié)方差分析內(nèi)容§9.1一元線性回歸學(xué)習(xí)目標(biāo)散點圖,回歸系數(shù),正規(guī)方程,經(jīng)驗回歸方程；回歸平方和,剩余平方和,相關(guān)系數(shù),顯著性檢驗.不確定關(guān)系人的身高體重農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量施肥量§9.1一元線性回歸1.一元線性回歸的基本概念線性模型例為了研究彈簧懸掛不同重量(單位：克力)x時長度(單位：厘米)y的關(guān)系。通過試驗得到一組數(shù)據(jù)。重量xi51015202530長度yj7.258.128.959.9010.9011.80把這些數(shù)據(jù)點(xi,yj)畫在xoy坐標(biāo)系中，圖形稱為散點圖。******L散點圖記L為進行n次獨立試驗，測得數(shù)據(jù)如下：我們的問題是，如何根據(jù)這些觀測值
2、用“最佳的”形式來表達(dá)變量Y與X之間的相關(guān)關(guān)系？一般而言，在變量x取值以后，若Y所取的值服從N(α+βx,σ2)分布，當(dāng)α、β及σ2未知時，根據(jù)樣本(x1,Y1),(x2,Y2),…,(xn,Yn)的觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)對未知參數(shù)α、β及σ2所作的估計與檢驗稱為一元線性回歸分析，而α稱為截距，β稱為回歸系數(shù)，E(Y)＝α+βx稱為回歸方程。由回歸方程可以推出根據(jù)樣本及其觀測值可以得到α、β及σ2的估計量及估計值得到回歸方程的估計式或經(jīng)驗回歸方程最常用的是最小二乘法，即求出的值最小，所求出的a稱為經(jīng)驗截距，簡稱為截距，b稱為經(jīng)驗回歸系數(shù)，
3、簡稱為回歸系數(shù)，而2.總體中未知參數(shù)的估計根據(jù)最小二乘法的要求由得到一元線性回歸的正規(guī)方程組并求出建立一元線性回歸方程的具體步驟：(3)計算b和a，寫出一元線性回歸方程。與上述a和b相對應(yīng)的Q的數(shù)值又記作SSE，稱為剩余平方和。將a、b和SSE以及和看作是統(tǒng)計量，它們的表達(dá)式分別為這些統(tǒng)計量之間以及它們與總體參數(shù)之間有以下的內(nèi)在聯(lián)系：①為提高a的估計精度，最理想的選擇是使＝0，其絕對值越小越好；②為提高b的估計精度，應(yīng)該使lxx取較大的數(shù)值，x1、x2、…、xn越分散越好；③觀測值的個數(shù)n不能太小。3.線性回歸方程的顯著性檢驗因此，必須對回歸方程的擬合情況或效果作顯著性檢
4、驗。其理論基礎(chǔ)就是總平方和的分解，即表示n個y1、y2、…、yn與之間的差異，當(dāng)各個yi已知時，它是一個定值，稱為總平方和，記作SST。通過回歸已經(jīng)達(dá)到了最小值，稱為剩余平方和，記作SSE。稱為回歸平方和，記作SSR。因此，SST＝SSE+SSR。如果SSR的數(shù)值較大，SSE的數(shù)值便比較小，說明回歸的效果好；如果SSR的數(shù)值較小，SSE的數(shù)值便比較大，說明回歸的效果差。如果
5、r
6、較大，SSE的數(shù)值便比較小，說明回歸的效果好或者說x與Y的線性關(guān)系密切；如果
7、r
8、較小，SSE的數(shù)值便比較大，說明回歸的效果差或者說x與Y的線性關(guān)系不密切；因此稱r為x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù)。又由
9、r及回歸系數(shù)的計算公式可以推出：r>0時b>0，x增加時Y的觀測值呈增加的趨勢；r<0時b<0，x增加時Y的觀測值呈減少的趨勢。因此r>0時稱x與Y正相關(guān)，r<0時稱x與Y負(fù)相關(guān)。綜上所述，如果設(shè)H0為β＝0，也就是假設(shè)x與Y不是線性關(guān)系，則可以用以下三種實質(zhì)相同的方法檢驗線性回歸方程的顯著性，且當(dāng)檢驗的結(jié)果顯著時x與Y的線性關(guān)系顯著，回歸方程可供應(yīng)用；當(dāng)檢驗的結(jié)果不顯著時x與Y的線性關(guān)系不顯著，回歸方程不可應(yīng)用。⑴F檢驗法：當(dāng)H0為真時，且SSR與SSE相互獨立；因此，當(dāng)H0為真時，當(dāng)F≥F1-α(1,n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。(2)t檢驗法：當(dāng)H0為真時，當(dāng)
10、t
11、
12、≥t1-0.5α(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0。(3)r檢驗法：根據(jù)x與Y的觀測值的相關(guān)系數(shù)可以推出當(dāng)H0為真時，當(dāng)F≥F1-α(1,n-2)或
13、r
14、≥rα(n-2)時應(yīng)該放棄原假設(shè)H0，式中的可由r檢驗用表中查出。因此，r常常用來表示x與Y的線性關(guān)系在x與Y的全部關(guān)系中所占的百分比，又稱為x與Y的觀測值的決定系數(shù)。4.利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測若線性回歸作顯著性檢驗的結(jié)果是放棄H0，也就是放棄回歸系數(shù)β＝0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測，這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一。⑴當(dāng)x＝x0時，Y0的觀測值y0的點預(yù)測是無偏的。⑵當(dāng)x＝x0時，用適合不等
15、式P{Y0∈(G,H)}≥1-α的統(tǒng)計量G和H所確定的隨機區(qū)間(G,H)預(yù)測Y0的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測，而(G,H)稱為Y0的1-α預(yù)測區(qū)間。若Y0與樣本中的各Yi相互獨立，則根據(jù)Z＝Y(jié)0-(a+bx0)服從正態(tài)分布，E(Z)＝0，Z與SSE相互獨立，可以導(dǎo)出因此，Y0的1-α預(yù)測區(qū)間為a+bx0±Δ(x0)，例1.1《吸附方程》某種物質(zhì)在不同溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度x(單位：℃)與吸附重量Y(單位：mg)的觀測值如下表所示：溫度x1.51.82.43.03.53.94.44.85.0重量y4.85.77.08.31
