基于變分的圖像恢復(fù)算法

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1、企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā)2009年4月第28卷TECHNOLOGICALDEVELOPMENTOFENTERPRISEADril．2009基于變分的圖像恢復(fù)算法龍小鳳，羅濤(1．湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410205；2．湖南現(xiàn)代物流職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410131)摘要：文章旨在有效去除噪聲的同時(shí)恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)和保護(hù)圖像邊緣，根據(jù)變分模型中‘P(1V『)函數(shù)的選取不同，效果不同，提出了新的模型。理論可證明模型具有穩(wěn)態(tài)解、算法具有收斂性。使用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，用迭代算法(共軛梯度法)求解。計(jì)算結(jié)果表明，該方法可以有

2、效恢復(fù)圖像，在客觀標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)和主觀視覺(jué)效果方面都有明顯的改善。關(guān)鍵詞：圖像的恢復(fù)；變分；凸函數(shù)；邊緣保持；穩(wěn)態(tài)解中圖分類(lèi)號(hào)：TP751文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006—8937(2009)08—0129—03圖像恢復(fù)是利用導(dǎo)致圖像退化的先驗(yàn)信息，建立退化圖像數(shù)學(xué)模型，然后沿著圖像退化的逆過(guò)程進(jìn)行重建，minE(u)=』iKu-u。il2+J‘p(1Vuldy以獲得高分辨率的圖像。利用變分思想進(jìn)行圖像恢復(fù)問(wèn)題實(shí)際上是在一個(gè)函數(shù)集求泛函的極小或極大的問(wèn)題。上式中，I‘p(IVuI)dxdy是附加的懲罰項(xiàng)，它使

3、問(wèn)題得到由于受噪聲污染圖像的總變分比無(wú)噪圖像的總變分明顯規(guī)整化。地大，于是得到了一種以保存圖像細(xì)節(jié)為目標(biāo)的規(guī)整化當(dāng)‘p(1Vu1)=1vu1：時(shí)，此種方法稱(chēng)為T(mén)ikhonov規(guī)復(fù)原方法，即總變分極小化方法。整化方法。將Efu)對(duì)u作變分，得到Euler方程為1用變分法進(jìn)行圖像恢復(fù)算法的步驟KKu—KKu0一入△u=O步驟一：將規(guī)整化復(fù)原問(wèn)題變成極小化泛函問(wèn)題其中，Au-u+u，Tikhonov算法簡(jiǎn)單、迅速，適合分E(u)=下1JIKu_u0il。+(1Vu1)dxdy片連續(xù)圖像的復(fù)原。但由于各個(gè)方向的

4、權(quán)重是相同的，因此，它只對(duì)變化不明顯的區(qū)域進(jìn)行復(fù)原，對(duì)邊界及紋理區(qū)步驟二：將對(duì)作變分，得到Euler方程為域造成明顯的模糊。模型二：Rudin，Osher，F(xiàn)atemi提出了以下的極小化問(wèn)u—K*uo-hdiv{}=0題：步驟三：離散化微分方程得到相應(yīng)的差分方程。ff步驟四：求解差分方程。通過(guò)在時(shí)間方向迭代得到一minE(u)=JlVuldxdyJ卿fu12dxdy定精度的解。在極小化泛函問(wèn)題中，關(guān)鍵是選取合適的‘p({Uf)，其中，k>O是正則系數(shù)，fIVuJdxdy是去除噪聲使得規(guī)整化泛函具有保持棱

5、邊的作用并能夠有效的在計(jì)的懲罰項(xiàng)。算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。將對(duì)作變分，得到Euler方程為①當(dāng)(P(【1滿足時(shí)li‘P”t)=const=M>0，(u—u0)(其中‘p‘(0)=0，lim(O)>O)，在圖像的連續(xù)區(qū)域有大的平TV正則化方法不僅能抑制噪聲，而且能夠保持圖像滑。的細(xì)節(jié)信息。但在lvUl=0處，Tv函數(shù)不可微，因此，需要②當(dāng)‘p(t)滿足lim‘P”(t)=0，lira‘ptl(t)=c>0時(shí)，在梯度構(gòu)造一個(gè)小的正參數(shù)B來(lái)進(jìn)行數(shù)值調(diào)節(jié)，即用方向不作平滑，而在與梯度正交的方向∈上仍然平滑，、／，來(lái)替換lV

6、uldiv(音)是高度非線性的，給這樣就起到了保護(hù)棱邊的作用。計(jì)算帶來(lái)了困難。即使進(jìn)行線性化以后仍然使得共軛梯③當(dāng)‘P’(t)／2t在【0，+)上連續(xù)且嚴(yán)格遞減時(shí)，則圖像度等迭代算法收斂得很慢?？杀苊獠环€(wěn)定的平滑。根據(jù)‘P(1vU1)的選取條件知，如果選取不同的，就會(huì)3新模型的提出得到不同的模型。上1節(jié)‘p(1vu1)介紹的模型都是為凸函數(shù)的情形，2兩類(lèi)典型基于變分的圖像復(fù)原模型對(duì)于‘p(1vu1)不是凸函數(shù)時(shí)，在張永平的論文中提到了一種將非凸函數(shù)轉(zhuǎn)化為本質(zhì)上的凸優(yōu)化問(wèn)題。模型一：Tikhonov規(guī)整化

7、方法是一種保存圖像細(xì)節(jié)在此基礎(chǔ)上我們提出一種‘p(1vu1)的新形式。令t=的方法。通過(guò)求解極小化lVuf，設(shè)‘P(t)=p(t))=1n(曰(t)+1)，其中面(t)，是任何一個(gè)凸函數(shù)。選取面(t)-、何一1，這個(gè)函數(shù)完全滿足條件作者簡(jiǎn)介：龍小鳳(1982一)，女，湖南婁底人，北京理工大學(xué)碩士研究生畢業(yè)，現(xiàn)任湖南涉外助教，主要從事高等數(shù)學(xué)教1)，2)，3)。學(xué)和科研工作。研究方向?yàn)槠⒎址匠踢M(jìn)行圖像處理。因此，泛函問(wèn)題轉(zhuǎn)化為l30企業(yè)技術(shù)開(kāi)發(fā)2009年4月rainE(u)=in(1吁(t)+1)dxd

8、y+一Jnu—tz”}2dxdy以v’fi+1，J)為例，∈H、ll!ln其中，BV(n)為有界變分空間，c為常數(shù)，叮為噪聲_I十)_【商‘)方差，r為圖像區(qū)域Q的邊界，入為正則參數(shù)。這里選取i一'k>0xp(吾由于有界變差空間包含不連續(xù)的階躍函數(shù)，因此上=、／(川)述模型不但能去除噪聲，而且還具有保持邊緣的特性。在方程在中心像素點(diǎn)被離散化為：噪聲存在的情況下，當(dāng)方程中的正則系數(shù)取較大值時(shí)，皆有較高的光滑性，即圖像中噪聲的抑制效果較好，但邊