資源描述：
《近世代數(shù)課件--3.7理想》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§7理想7.1定義及例子7.2理想的交與和7.3除環(huán)的理想7.4生成理想7.1定義及例子在這一節(jié)里我們要討論到一種特別重要的子環(huán)，就是理想子環(huán),簡稱為理想(Ideal).理想在環(huán)論里的地位同不變子群在群論里的地位類似。定義環(huán)R的一個非空子集I叫做一個理想子環(huán)，簡稱理想，假如（?。áⅲ?強閉合性)注1：理想一定是一個子環(huán).由（?。?，一個理想是一個加群，由于（ⅱ），對于乘法來說是閉的，所以一個理想一定是一個子環(huán)。但（ⅱ）不僅要求的兩個元的乘積必須在里，而且進一步要求，在一個任意元同R的一個任意元的乘積都必須在
2、里,所以稱為強閉合性。注2：可以定義左(右)理想,p113,ex6.注3：一個環(huán)R至少有以下兩個理想：1.只包含零元的集合，這個理想叫做R的零理想；2.R自己，這個理想叫做R的單位理想。兩個通稱為平凡理想.我們舉兩個例。例1看整數(shù)環(huán)R。那么一個整數(shù)，n的所有倍數(shù)作成一個理想。例2看一個環(huán)R一元多項式環(huán)。那么所有多項式作成的一個理想。7.2理想的交與和命題1設是R的兩個理想,那么(i)仍然是理想(ii)仍然是理想,稱為和.注4：一般不是理想.是包含的最小理想.7.3除環(huán)的理想定理1一個除環(huán)R只有兩個理想，就是
3、零理想和單位理想。證明假定是R的一個非零理想。那么，由理想的定義，，因而R的任意元這就是說，證完。注5：在一個有單位元1的環(huán)中,如果理想包含一個可逆元,那么是單位理想.注6：定理1的逆命題不成立(p119,ex.4).7.4生成理想給了一個環(huán)R，我們可以用以下方法做一些R的理想,稱為生成理想.一個元素生成的理想—主理想設是R里一個元，利用我們作一個集合，包含所有可以寫成形式的元。那么[1]是R的一個理想。因為：兩個這種形式的元相減顯然還是一個這種形式的元；用R的一個元r從左邊去乘一個元也得到一個這種形式的元
4、，就是用r從右邊去乘的元情形一樣。[2]顯然是包含的最小的理想。定義2上面的叫做由元生成的主理想。這個理想我們用符號來表示。以下用到最多的理想就是主理想。一個主理想的元的形式并不是永遠象上面那樣復雜。[1]當R是交換環(huán)時，的元顯然都可以寫成的形式[2]當R有單位元的時候，的元都可以寫成的形式，因為這時，[3]當R既是交換環(huán)又有單位元的時候，的元的形式特別簡單，這時它們都可以寫成因此,這時也可以寫出aR。例3.例1里的理想就是由n生成的主理想。注7：如果R=2Z,(4)的元素形如:???多個元素生成的理想在環(huán)
5、R里任意取出m個元,主理想的概念容易加以推廣。定義3m個主理想的和,叫做生成的理想。這個理想我們用符號來表示。注8：是包含的最小理想。例4在Z中,(a,b)可以簡化為主理想.我們舉一個例例5在一些環(huán)中,(a,b)不可以簡化為主理想假定是整數(shù)環(huán)R上的一元多項式環(huán)。我們看的理想。因為是有單位元的交換環(huán)，由所有的元作成：換一句話說，2剛剛包含所有多項式（1）我們證明，不是一個主理想。假定，那么，因而但這樣，。但都不是（1）的形式，這是一個矛盾。作業(yè)P113:1,5
