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《近世代數(shù)課件--4.3.主理想環(huán)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§3.主理想環(huán)3.1定義3.2兩個有趣的引理3.3主要定理要知道一個整環(huán)是不是一個唯一分解鉿不是一件容易的事，因為要測驗唯一分解定義里的條件（?。?，（ⅱ）或是（Ⅳ），2，定理2里的條件（ⅰ），（ⅲ）能否被滿足，一般是非常困難的。以下我們要認(rèn)識幾種特殊的唯一分解環(huán)，使得我們在解決以上問題時可以有一點幫助。3.1定義第一種是主理想環(huán)。定義一個環(huán)叫做一個主理想環(huán)，假如的沒個理想都是主理想。3.2兩個有趣的引理本節(jié)證明,一個主理想環(huán)一定是一個唯一分解環(huán)。為證明這一點，我們需要兩個引理。這兩個引理本身也是很重要。例1環(huán)R的理想升鏈:的并是理想例2在
2、整環(huán)中,(2)是相伴元(1)引理1假定是一個主理想環(huán)，若在序列中每一個元是前面一個真因子，那么這個序列一定是一個有限序列,也就是說,一定存在,使得不是的真因子。證明構(gòu)造主理想由于是的因子，顯然我們看這些理想的并集,是R的一個理想(例1)。由于R是主理想環(huán)，一定是一個主理想：。這個d屬于，所以也屬于某一個。我們將證明，這個一定是我們要求的元。首先,=可以得到于是其次,已知條件這樣和是相伴元。證完。引理2假定R是一個主理想環(huán)，那么R的一個素元生成一個最大理想。證明假定是滿足條件的理想:由于R是主理想環(huán)，我們有因而是的因子。但是素元，所以不是的
3、相伴元，就是單位。如果是的相伴元,如果是單位,證完3.3主要定理現(xiàn)在我們證明定理一個主理想環(huán)R是一個唯一分解環(huán)。證明我們使用第二階的定理2（?。㏑的每一個既不是零也不是單位的元都有一個分解(反證法)我們看R的一個不是零也不是單位的元,假定不能寫成有限個素元的乘積，那么不會是一個素元，那么b和c都是的真因子。的這兩個真因子之中至少有一不能寫成素元的乘積，不然的話就會是素元的乘積，與假定沖突。我們得到了結(jié)論：假如一個元沒有分解，那么一定有一個真因子,也沒有分解。這樣，在元沒有分解的假定之下，我們會得到一個無窮序列在這個序列里每一個元前面一個真
4、因子,與引理1矛盾,這是不可能的，所以一定有分解。（ⅲ）R的一個素元若能整除，那么能整除或。假定R的素元能夠整除,那么這就是說在剩余類環(huán)里，依照引理2，是最大理想，因此依照第三章，9，定理，是一個域。因為域沒有零因子，上邊的式子告訴我們這就是說這樣證完作業(yè)P138:1,2
