謂詞演算的推理理論1

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1、1.8謂詞演算的推理規(guī)則一、謂詞邏輯中推理的基本概念設(shè)H1,H2,…,Hm(ｍ≥１)和Ｃ都是謂詞公式。若(H1∧H2∧…∧Hm)→Ｃ為永真式，即H1∧H2∧…∧Hm?Ｃ，則稱由前提H1,H2,…,Hm推出結(jié)論C的推理正確(有效)。Ｃ稱為前提H1,H2,…,Hm的有效結(jié)論或邏輯結(jié)果。H1∧H2∧…∧Hm→Ｃ稱為由前提H1,H2,…,Hm推出結(jié)論C的推理的形式結(jié)構(gòu)。謂詞邏輯中常用的推理規(guī)則其來源可分為兩類：（一）命題邏輯中的所有推理規(guī)則如規(guī)則P、T及CP規(guī)則、反證法等亦可在謂詞演算的推理中應(yīng)用，只是應(yīng)將各規(guī)則中的命題公式理解為謂詞公式

2、。謂詞演算的推理方法可視為命題演算推理方法的擴(kuò)張。（二）謂詞邏輯中特有的推理規(guī)則1.謂詞演算中與量詞有關(guān)的基本的永真蘊(yùn)含式和邏輯等價(jià)式。2.量詞的消去或添加規(guī)則在謂詞演算的推理中，某些前提或結(jié)論會(huì)受到量詞的限制，為了使用命題演算中的等價(jià)式和蘊(yùn)含式，必須有消去或添加量詞的規(guī)則。二、謂詞邏輯的推理規(guī)則1.US規(guī)則(全稱指定規(guī)則)?xA(x)?A(y);①?xA(x)?A(c)②——如果個(gè)體域D中所有的個(gè)體都具有性質(zhì)A，則D中每一個(gè)個(gè)體（個(gè)體常元、個(gè)體變?cè)┒季哂行再|(zhì)A。兩式成立的條件是：⑴x是A(x)中自由出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?。⑵在①式中?/p>

3、y為任意的不在A(x)中約束出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?。特別地，y可取x。⑶在②式中，c為任意的個(gè)體常元。消去規(guī)則(指定規(guī)則)例如：設(shè)個(gè)體域D為實(shí)數(shù)集，謂詞F(x,y)：x>y。則?x?yF(x,y)：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都存在實(shí)數(shù)y，使x>y。（真命題）則下列推理正確的是：()1.?x?yF(x,y)??yF(c,y)2.?x?yF(x,y)??yF(x,y)3.?x?yF(x,y)??yF(y,y)4.?x?yF(x,y)??yF(z,y)答案：1，2，4正確3出錯(cuò)的原因是y已在?yF(x,y)中約束出現(xiàn)。2.ES規(guī)則(存在指定規(guī)則)?xA(

4、x)?A(c)——如果個(gè)體域D中存在具有性質(zhì)A的個(gè)體，則D中必有某一個(gè)個(gè)體c（個(gè)體常元）具有該性質(zhì)A。該式成立的條件是：⑴x是A(x)中自由出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?。⑵c是使A(c)為真的特定的個(gè)體常元，且此c在該推導(dǎo)前（包括在A(x)中）從未使用過。⑶若A(x)中除自由出現(xiàn)的x以外，還有其他自由個(gè)體變?cè)獣r(shí)，不能使用此規(guī)則。例如：1.設(shè)個(gè)體域D為整數(shù)集，謂詞F(x)：x是奇數(shù)。G(x)：x是偶數(shù)。推理過程如下：(1)?xF(x)?F(c)(2)?xG(x)?G(c)則?xF(x)，?xG(x)都是真命題，但F(ｃ)∧G(ｃ)假出錯(cuò)原因：(2

5、)中的ｃ已在(1)被指定了，已是一個(gè)特定的值。(2)應(yīng)改為：?xG(x)?G(d)F(ｃ)∧G(d)真2.?xF(x,y)?F(c,y)出錯(cuò)原因：c的確定還與y有關(guān)。應(yīng)改為：?xF(x,y)?F(cy,y)3.UG規(guī)則(全稱推廣規(guī)則)A(y)??xA(x)——如果個(gè)體域D中每一個(gè)個(gè)體都具有性質(zhì)A，則D中所有的個(gè)體都具有該性質(zhì)A。該式成立的條件是：⑴y是A(y)中自由個(gè)體變?cè)?，且y取個(gè)體域D中的任何值時(shí)，A(y)均為真。⑵取代y的x不能是A(y)中的約束變?cè)?，否則也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。注：使用本規(guī)則時(shí)，事先必須已經(jīng)驗(yàn)證了對(duì)個(gè)體域中的每一個(gè)ｘ

6、，A(x)都為真。添加規(guī)則(推廣規(guī)則)4.EG規(guī)則(存在推廣規(guī)則)A(c)??xA(x)A(y)??xA(x)——如果個(gè)體域D中某個(gè)個(gè)體（個(gè)體常元、個(gè)體變?cè)┚哂行再|(zhì)A，則D中存在著具有該性質(zhì)A的個(gè)體。兩式成立的條件是：⑴c是使A(c)為真的特定的個(gè)體常元。⑵y是使A(y)為真的自由個(gè)體變?cè)＂侨〈鷆或y的x不能在A(c)或A(y)中出現(xiàn)過。例如：設(shè)個(gè)體域D為實(shí)數(shù)集，a)謂詞F(x,y)：x>y則下列推理正確的是：1.?xF(x，y)??z?xF(x，z)2.?xF(x，y)??x?xF(x，x)1對(duì)2錯(cuò)b)謂詞F(x,y)：x*

7、y=0則下列推理正確的是：1.?xF(x,0)??x?xF(x,x)2.?xF(x,0)??z?xF(x,z)1錯(cuò)2對(duì)1.量詞的消去或添加規(guī)則只對(duì)前束范式（即轄域?yàn)檎麄€(gè)公式）的量詞成立，不能對(duì)出現(xiàn)在公式中間的量詞使用它們。2.使用時(shí)，要嚴(yán)格按照限制條件去使用，并從整體上考慮個(gè)體常元和個(gè)體變?cè)?hào)的選擇。3.用y或c取代A(x)中自由出現(xiàn)的x時(shí)，一定要在x自由出現(xiàn)的每一處都取代。使用時(shí)的注意事項(xiàng)例1-8-1證明蘇格拉底三段論：所有的人都是要死的。蘇格拉底是人。所以蘇格拉底是要死的。解：設(shè)M(x)：x是人。D(x)：x是要死的。a：蘇

8、格拉底前提：?x(M(x)→D(x))，M(a)結(jié)論：D(a)推理的形式結(jié)構(gòu)：?x(M(x)→D(x))∧M(a)→D(a)證明:(1)?x(M(x)→D(x))規(guī)則P(2)M(a)→D(a)(1)US規(guī)則，規(guī)則T(3)M(a)規(guī)則P(4)D(a)