《數(shù)列的概念》PPT課件

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1、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念1.定義按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.數(shù)列是特殊的函數(shù)從函數(shù)的觀點看數(shù)列,對于定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù)來說,數(shù)列就是這個函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一系列函數(shù)值,其圖象是無限個或有限個孤立的點.注:依據(jù)此觀點可以用函數(shù)的思想方法來解決有關數(shù)列的問題.二、數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項公式法若數(shù)列的每一項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關系可以用一個公式來表達,即an=f(n),則an=f(n)叫做數(shù)列的通項公式.4.遞推公式法如果已知數(shù)列

2、的第一項(或前幾項),且任一項與它的前一項(或前幾項)的關系可以用一個公式來表示,這個公式就叫做數(shù)列的遞推公式.注:遞推公式有兩要素:遞推關系與初始條件.三、數(shù)列的分類1.按項數(shù)：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；2.按an的增減性：遞增、遞減、常數(shù)、擺動數(shù)列；3.按

3、an

4、是否有界：有界數(shù)列和無界數(shù)列.四、數(shù)列的前n項和Sn=a1+a2+…+an=?ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).五、數(shù)列的單調性設D是由連續(xù)的正整數(shù)構成的集合,若對于D中的每一個n都有an+1>an(或an+1

5、an}在D內單調遞增(或單調遞減).方法：作差、作商、函數(shù)求導.六、重要變換an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1???…?.anan-1a2a1a3a2典型例題1.若數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則當n≥2時,{an}的通項an=.2.定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a1

6、8的值為,這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為.3.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=(對于所有n≥1),且a4=54,則a1的數(shù)值為.a1(3n-1)24.在數(shù)列{an}中,a1=,an+1-an=,求數(shù)列{an}的通項公式.124n2-11n!2an=324n-24n-3an=n為奇數(shù)時,Sn=n-;n為偶數(shù)時,Sn=n.1252525.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.6.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an-1(n=1,2,3,…);數(shù)列{bn}滿

7、足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,…).求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式.3,n=1,2n,n≥2.an=an=2n-1bn=2n-1+27.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-65n,求數(shù)列{

8、an

9、}的前n項和Tn.-3n2+65n,n≤11,3n2-65n+704,n≥12.Tn=8.已知數(shù)列{an}的通項an=(n+1)(),問是否存在正整數(shù)M,使得對任意正整數(shù)n都有an≤aM?n109∴當n<8時,an+1>an,{an}單調遞增；當n>8時,an+1

10、=a9,即a1a10>a11>…,∴a8與a9是數(shù)列{an}的最大項.故存在M=8或9,使得an≤aM對n∈N+恒成立.解:∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n119119=()n?.119108-n9.求使得不等式+++…+>2a-5對n∈N*恒成立的正整數(shù)a的最大值.13n+11n+11n+21n+3解:記f(n)=+++…+,考察f(n)的單調性.13n+11n+11n+21n+3∴f(n+1)>f(n),∵f(n+1)-f(n)=++-13n+213n+313n+

11、41n+1=+-13n+213n+423n+3=>0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)[評析]數(shù)列的單調性是探索數(shù)列的最大項、最小項及解決其它許多數(shù)列問題的重要途徑,因此要熟練掌握求數(shù)列單調性的程序.∴當n=1時,f(n)有最小值f(1)=++=.1213141213要使題中不等式對n∈N*恒成立,只須2a-5<.1213∴正整數(shù)a的最大值是3.解得a<.2473課后練習1.根據(jù)下列數(shù)列的前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)5,55,555,….an=(

12、-1)n?2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n個59n個59(3)-1,7,-13,19,…;(4)7,77,777,7777,…;(5),,,,,…;236389910154356(6)5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)an=5sin2