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《1.3.2函數(shù)的奇偶性講義》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1.3.2函數(shù)的奇偶性一、對稱區(qū)間(關(guān)于原點(diǎn)對稱)[a，b]關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間為[－b，－a](－∞，0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間為(0，＋∞)[－1，1]關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間為[－1，1]二、奇函數(shù)與偶函數(shù)（一）奇函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關(guān)于原點(diǎn)對稱）內(nèi)，對于x∈A，都有．f(．－．x．)．＝．－．f．(．x．)．，則f(x)為奇函數(shù)。（二）偶函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關(guān)于原點(diǎn)對稱）內(nèi)，對于x∈A，都有．f(．－．x．)．＝．f．(．x．)．，則f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，則我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。（三
2、）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)不具備奇偶性，此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再進(jìn)行下一步；（3）求f(－x)；（4）根據(jù)f(－x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；①若f(－x)＝－f(x)，函數(shù)是奇函數(shù)；②若f(－x)＝f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③若f(－x)≠±f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；④若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)。【．即．f(x)偶．函．?dāng)?shù)．；．當(dāng)．a(chǎn)＝．0．時(shí)．，
3、．常．?dāng)?shù)．函．?dāng)?shù)．既．是．奇．函．?dāng)?shù)．，．也．是．偶．函．?dāng)?shù)．。．】．例1：判斷下列函數(shù)奇偶性。1（1）f(x)＝xx3＋x（3）f(x)＝x1×x1（2）f(x)＝x1（4）f(x)＝13x2＋cosx（5）f(x)＝x【解析】：（1）奇（2）奇（3）非（4）非（5）偶變式練習(xí)：判斷下列函數(shù)的奇偶性。12x（1）f(x)＝x×tanx（2）f(x)＝)ln(2x（3）f(x)＝x(xx(x1)x，1x)，00【解析】：（1）偶（2）奇（3）奇注意：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求定義域，判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）計(jì)算f(－x)；（3）判斷，若f(－x)＝f(
4、x)偶函數(shù)，若f(－x)＝－f(x)奇函數(shù)，否則為非奇非偶函數(shù)。2、直接判斷法：偶±偶＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；奇×偶＝奇。一些重要類型的奇偶函數(shù)：（1）f(x)＝xaxa為偶函數(shù)，f(x)＝xaxa為奇函數(shù)；（2）f(x)＝aaxxaaxx1x（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)；（3）f(x)＝)a（a＞0且alog(1x≠1）為奇函數(shù)；（4）f(x)＝xlog(xx21)
a（a＞0且a≠1）為奇函數(shù)。三、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（一）偶函數(shù)的性質(zhì)：①偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②f(－x)＝f(x)＝f(︱2x︱)；③偶函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反；④二次函數(shù)f(x
5、)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則b＝0。（二）奇函數(shù)的性質(zhì)：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②f(－x)＝－f(x)；③奇函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同；④一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)，則b＝0；⑤若．x．＝．0．在．其．定．義．域．內(nèi)．，．則．有．f．(0．．)．＝．0．。．2432例2：已知函數(shù)f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝x＋bx＋cx是_______函數(shù)。（填奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)）【解析】：偶函數(shù)2變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)＝ax＋bx＋3a＋b(a≠0)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝_
6、______，b＝___________?！窘馕觥浚?30變式練習(xí)2：下列函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）3A：f(x)＝x＋1B：f(x)＝－x【解析】：DC：f(x)＝1xD：f(x)＝x×｜x｜變式練習(xí)3：若函數(shù)f(x)＝(x1)(xa)x是奇函數(shù)，則a＝_______。2(【解析】：f(－x)＝－f(x)，則x1)(xa)x＝－(x1)(xa)x，得2＝－x2(a1)xa，故a＝－1
x(a1)xa2例4：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0，f(x)＝x－2x，求f(x)的表達(dá)式。2x2x，x0【解析】：f(x)＝2x2x，x02變式練習(xí)：已知f(x)是定義在R上
7、的奇函數(shù)，，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x－2x－3，求f(x)的解析式。2x2x3，x0【解析】：f(x)＝0x，02x2x3x0，例5：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－1)＝2，則f(1)＝_______。【解析】：f(1)＝－22變式練習(xí)1：若f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0，f(x)＝2x
－x，則f(1)＝_________。【解析】：f(1)＝－3x，則f[f(2)]＝()變式練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝26A：－234B：234C：－2D：2【解析】：D變式練習(xí)3：
