導(dǎo)數(shù)與最值,極值

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1、4.已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若是的極值點，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍.21.（理）（本小題滿分12分）（Ⅰ）解：.依題意，令，解得.經(jīng)檢驗，時，符合題意.……4分（Ⅱ）解：①當(dāng)時，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.②當(dāng)時，令，得，或.當(dāng)時，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)時，，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.③當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時，的減區(qū)

2、間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意.當(dāng)時，在的最大值是，由，知不合題意.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意.所以，在上的最大值是時，的取值范圍是.…………12分5.已知函數(shù)（1）若的極值點，求實數(shù)a的值；（2）若上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)有實根，求實數(shù)b的最大值。22．解：（1）…………1分因為為的極值點，所以即，解得，又當(dāng)時，，從而為的極值點成立?！?分（2）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立?！?分①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，在

3、區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意。…………4分②當(dāng)時，由函數(shù)的定義域可知，必有對成立，故只能…………5分故對恒成立令，其對稱軸為從而要使對恒成立，只要即可…………6分解得：，故綜上所述，實數(shù)的取值范圍為…………7分（3）若時，方程可化為，．問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域．………………………………8分以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：解法一：，令則…………9分所以當(dāng)時，，從而在上為增函數(shù)當(dāng)時，，從而上為減函數(shù)因此…………10分而，故…………11分因此當(dāng)時，取得最大值…………12分解法二：因為，所以設(shè)，則…………9分當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)

4、時，，所以在上單調(diào)遞減因為，故必有，又………10分因此必存在實數(shù)使得當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減…………11分又因為當(dāng)時，，則，又因此當(dāng)時，取得最大值…………12分13.已知f(x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－，其中e是自然常數(shù)，a∈R．（1）討論a＝－1時,f(x)的單調(diào)性、極值；（2）求證：在（1）的條件下，

5、f(x)

6、＞g(x)＋；（3）是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．解：（1）∵f(x)＝－x－ln(－

7、x)∴f￠(x)＝－1－＝－∴當(dāng)－e≤x＜－1時，f￠(x)＜0，此時f(x)為單調(diào)遞減當(dāng)－1＜x＜0時，f￠(x)＞0，此時f(x)為單調(diào)遞增∴f(x)的極小值為f(－1)＝1（2）∵f(x)的極小值，即f(x)在[－e,0)的最小值為1∴

8、f(x)

9、min＝1令h(x)＝g(x)＋＝－＋又∵h(yuǎn)￠(x)＝，當(dāng)－e≤x＜0時，h￠(x)≤0∴h(x)在[－e,0)上單調(diào)遞減，∴h(x)max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝

10、f(x)

11、min∴當(dāng)x∈[－e,0)時，

12、f(x)

13、＞g(x)＋（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)＝ax－ln(－x

14、)有最小值3，x∈[－e,0),f￠(x)＝a－①當(dāng)a≥－時，由于x∈[－e,0)，則f￠(x)＝a－≥0，∴函數(shù)f(x)是[－e,0)上的增函數(shù)∴f(x)min＝f(－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－（舍去）②當(dāng)a＜－時，則當(dāng)－e≤x＜時，f￠(x)＝a－＜0，此時f(x)是減函數(shù)當(dāng)＜x＜0時，f￠(x)＝a－＞0，此時f(x)＝ax－ln(－x)是增函數(shù)∴f(x)min＝f()＝1－ln＝3解得a＝－e2．27.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）試說明是否存在實數(shù)使的圖象與無公共點.22.解：（

15、1）函數(shù)的定義域是.當(dāng)時，′，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為.(2)′若時，則在恒成立，所以的增區(qū)間為.若，則，故當(dāng)，′，當(dāng)時，所以時的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（3）時，由（2）知在上的最小值為，令在上單調(diào)遞減，所以，則，因此存在實數(shù)使的最小值大于，故存在實數(shù)使的圖象與無公共點.32.已知定義在R上的函數(shù),其中a為常數(shù).(1)若x=1是函數(shù)的一個極值點,求a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時,若函數(shù)在x=0處取得最大值,求a的取值范圍.22．解：（1）的一個極值點，；.....................2

16、分（2）①當(dāng)a=0時，∴f(x)在區(qū)間（－∞,0）上是增函數(shù),在區(qū)間（0,+∞）上是減函數(shù)................4分②當(dāng)a>0時，f￠(x)>0?x(x-)>0得x<0或x>;f￠(x)<0?x(x-)<0得0