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《微分方程及其定解條件、等效積分》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、微分方程及其定解條件、等效積分原理這一部分里，我們將看到以下內容幾個典型物理問題及其數(shù)學描述（微分方程和定解條件）微分方程的類型微分方程的邊界條件微分方程及其邊界條件的等效積分原理幾個典型的問題弦振動問題的微分方程及定解條件傳熱問題的微分方程及定解條件位勢方程及定解條件弦是一種抽象模型，工程實際中，可以模擬繩鎖、電纜等結構，如遠距離輸電線路、一些橋梁的懸索、拉鎖等；幾何上可以用一條線段（不一定是直線段）來表示弦。這里所說的弦的振動是弦的微小橫振動，一定長度的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下做微小橫振動，弦
2、的運動發(fā)生在同一平面內，弦的各點位移與平衡位置垂直弦的長度l，線密度為，弦的張力為T弦振動的微分方程為：f是垂直于平衡位置的外力這個微分方程雖然描述了弦振動時各點的運動狀態(tài)，但單純依靠這個微分方程，我們還不能唯一確定弦的振動，必須給出定解條件，定解條件主要有兩種，一種是初始時刻弦的運動狀態(tài)，稱為初始條件：初始時刻各點的位移初始時刻各點的速度另外一種定解條件是邊界條件，對于弦振動問題來說給定弦的兩個端點的運動規(guī)律，一般來說邊界條件有三種：第一種給定弦端點的位移第二種給定位移梯度的端點值位移的梯度表示弦線的撓度第三種邊界條件
3、是端點的位移和速度的線性組合是一個已知函數(shù)，對于弦振動這個邊界條件的物理意義是，弦的端點固定在兩個彈性支撐上，兩個彈性支撐的彈性系數(shù)為：k0，k1以上是弦振動的數(shù)學模型，是由微分方程與相應的定解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣問題又稱為混合初邊問題。定解條件中只有初值條件的問題稱為初值問題。定解條件中只有邊值條件的，稱為邊值問題。下面來看第二個典型問題：熱傳導問題三維非定常熱傳導問題的微分方程為：物體的比熱容物體的密度物體的熱傳導系數(shù)物體內部熱源強度與弦振動問題類似，要想確定物體內部的溫度場，除了上面那個微分
4、方程以外，還需要定解條件，定解條件也包括兩種：初值條件和邊值條件初值條件，是初始時刻物體的溫度場邊值條件也有三種第一種：給定邊界的溫度第二種：給定邊界的熱流量第三種：給定邊界的熱流量和溫度線性組合下面來看第三個典型問題：位勢方程在三維熱傳導問題中，如果溫度不隨時間變化，即定常熱傳導，三維熱傳導方程可以寫為假定物體是均勻的，那么這個方程可以進一步簡化這個方程又稱為泊松（Poisson）方程再進一步，如果均勻物體中沒有熱源，穩(wěn)態(tài)熱傳導方程為這就是我們熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡
5、爾坐標系下的形式，下面給出它們的算子形式，它們在其它坐標也成立系泊松方程拉普拉斯方程其中，在笛卡爾坐標系下：稱為哈密頓（Hamilton）算子稱為拉普拉斯算子從上面的算子表達式，再回憶我們學過的高等數(shù)學的知識，哈密頓算子運算的結果，是一個標量場的梯度是一個向量場，而反過來說，如果一個向量場是一個標量場的梯度，這個向量場稱為有勢場，這個標量場稱為有勢場的位勢場或位勢函數(shù)在定常熱傳導問題中，溫度場的梯度為也就是說，這個向量場是溫度場的梯度，是一個有勢場而溫度場是這個有勢場的位勢場或位勢函數(shù)，這就是泊松方程和拉普拉斯方程稱為位
6、勢方程的原因現(xiàn)在我們來看位勢方程的定解條件。由于待求變量與時間無關，不需要初值條件因此位勢方程的定解條件類似三維熱傳導方程的三種邊界條件，現(xiàn)在我們來回顧一下剛才介紹的幾個微分方程第一個微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是2，如果做移項整理這個方程的形式和雙曲線方程的形式很類似這類的方程又稱為雙曲型微分方程再看第二個方程，現(xiàn)在加上物體均勻，為了幾何上更直觀這個方程可以，我們寫出一維的情況這個方程形式和拋物線方程形式類似這類方程又稱為拋物型微分方程最后再看位勢方程，為了幾何直觀，我們寫成二維的情況這個方程形式和橢圓方程形式類
7、似這類方程又稱為橢圓型微分方程微分方程主要就分為這三個類型：拋物型；雙曲型；橢圓型請大家注意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的準確定義。準確的定義，大家可以參考數(shù)學物理方程的有關書籍和資料有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組?，F(xiàn)在來總結一下邊界條件，我們看到，在以上的三個典型問題的微分方程中，給定的邊界條件都有三種：第一種是給定待求函數(shù)在邊界處的數(shù)值，這種邊界條件稱為第一邊界條件、Direchlet邊界條件、強制邊界條件第二種是給定待求函數(shù)在邊界處梯度或方向導數(shù)，這種邊界條件稱為第二邊界條件、Neumann邊界
8、條件第三種是給定邊界上待求函數(shù)及其方向導數(shù)的線性組合，這種邊界條件稱為第三邊界條件我們總結一下這一小節(jié)的內容描述物理過程的微分方程主要分為三個類型：橢圓型、雙曲型、拋物型有限元法特別適合求解橢圓型微分方程邊界條件主要有三種：第一邊界條件（Direchlet條件、強制邊界條件）、第二邊界條件（Neumann條件）和第三
