理力-龍格-張新意

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1、龍格-庫塔法解洛倫茲方程結構0110175020張新意一．洛倫茲方程美國科學家Lorenz在研究大氣對流模型時得到了以下方程組X=σY-XY=ρX-Y-XZZ=-βZ+XY稱為Lorenz方程?，F對采用常用具體參數σ=10，β=8/3，ρ=28的Lorenz方程進行求解，描繪出X、Y、Z隨時間變化的關系圖形和三維圖形，并驗證該方程的初值敏感性質。二．求解過程（1）建立函數用三維向量dx代表X、Y、Z，程序代碼為：functiondx=Lorenz(t,x)dx=zeros(3,1);dx(1)=10*(-x(1

2、)+x(2));dx(2)=28*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);dx(3)=x(1)*x(2)-8*x(3)/3;保存為Lorenz.m（2）用四五階龍格-庫塔法建立X、Y、Z關于時間的函數關系并繪制圖形程序代碼：clcclear[t,x]=ode45('lorenz',[020],[10,10,10]);figure(1)holdontitle('X(t)圖像')plot(t,x(:,1))xlabel('t')ylabel('X')figure(2)holdontitle('Y(t)圖像')plo

3、t(t,x(:,2))xlabel('t')ylabel('Y')figure(3)holdontitle('Z(t)圖像')plot(t,x(:,3))xlabel('t')ylabel('Z')結果：（3）繪制點（X,Y,Z）的運動軌跡程序代碼：[t,x]=ode45('Lorenz',[050],[10,10,10]);holdontitle('(X,Y,Z)運動軌跡');plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));運行結果：（4）驗證Lorenz方程的初值敏感性質，即“蝴蝶效應”將坐標Y的初

4、始值做微小改變（改變0.01）,繪制出改變前后X(t)、Z(t)曲線，進行比較。程序代碼：clcclear[t1,x1]=ode45('Lorenz',[015],[10,10,10]);[t2,x2]=ode45('Lorenz',[015],[10,10.01,10]);figure(1)holdontitle('X(t)圖像')xlabel('t')ylabel('X')plot(t1,x1(:,1),'k')plot(t2,x2(:,1),'b')figure(2)holdontitle('Z(t)圖像

5、')xlabel('t')ylabel('Z')plot(t1,x1(:,3),'k')plot(t2,x2(:,3),'b')運行結果：從圖中可以明顯看出雖然只對Y的初始值進行了微小調整，但對卻方程的結果造成了很大影響，“蝴蝶效應”得以驗證。