維納濾波器與卡爾漫濾波器

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1、第二章維納濾波器與卡爾漫濾波一、最佳濾波器接收的信號(hào)：設(shè)計(jì)一種濾波器從中恢復(fù)，也就是使濾波器的輸出盡可能逼近,這種濾波器稱為最佳濾波器。設(shè)計(jì)濾波器的前提：信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性為已知二、最佳濾波器設(shè)計(jì)的問(wèn)題歸結(jié)為：已知信號(hào)和噪聲的功率譜，當(dāng)濾波器的輸入為，使其輸出逼近經(jīng)典濾波方法中的譜混疊問(wèn)題三、“最佳”的衡量準(zhǔn)則四種：最大后驗(yàn)準(zhǔn)則、最大似然準(zhǔn)則、均方準(zhǔn)則、線性均方準(zhǔn)則—特殊的最小均方誤差準(zhǔn)則（本章采用這項(xiàng)準(zhǔn)則）的最佳估計(jì)2.1維納濾波的標(biāo)準(zhǔn)方程一、標(biāo)準(zhǔn)方程（假設(shè)，就是）維納濾波器是一個(gè)線性時(shí)不變（LT

2、I）系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)為h(n)，輸入為輸出：LMS準(zhǔn)則：濾波器的h(i)要滿足該準(zhǔn)則這樣：稱為正交方程j換成m這個(gè)式子被稱為標(biāo)準(zhǔn)方程或維納霍夫方程二、維納濾波器的用途（1）過(guò)濾—用n時(shí)刻以前的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)n時(shí)刻的信號(hào)，因果系統(tǒng)（2）平滑—用全部的數(shù)據(jù)（過(guò)去和將來(lái)）來(lái)估計(jì)n時(shí)刻的信號(hào)，非因果系統(tǒng)（3）預(yù)測(cè)—用n時(shí)刻及以前共P個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)未來(lái)某時(shí)刻n-M的信號(hào)期望信號(hào)—希望濾波器輸出的信號(hào)，用d(n)表示如果filter輸出信號(hào)為估計(jì)誤差為：維納濾波器問(wèn)題三步表示：①輸出：②準(zhǔn)則：③誤差：三、標(biāo)準(zhǔn)方程中的i

3、取值范圍(1)0到N-1個(gè)有限值FIRWienerFilter(2)所有整數(shù)值非因果IIRWienerFilter(3)取正整數(shù)值因果IIRWienerFilter三種情況，標(biāo)準(zhǔn)方程有不同求解過(guò)程2.2維納—霍夫方程求解問(wèn)題一、FIR維納濾波器設(shè)濾波器的沖激響應(yīng)矢量為：濾波器的輸入矢量為：濾波器的輸出矢量為：維納—霍夫方程：這里：—互相關(guān)函數(shù)—N維列矢量是的—自相關(guān)函數(shù)—N階方陣解的過(guò)程可以用R的對(duì)稱和托普利茲（Toeplitz)性質(zhì)濾波器的輸出：意義：輸出是信號(hào)在輸入數(shù)據(jù)子空間上的正交投影—是最佳估

4、計(jì)二、非因果IIR維納濾波器方程描述：進(jìn)行雙邊z變換：三、因果IIR維納濾波器方程描述如輸入為方差的白噪聲表示在單位圓內(nèi)極或Rse(m)的因果部分解此方程很困難設(shè)均為平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)①將x(n)看做是由白噪聲激勵(lì)一個(gè)LTI系統(tǒng)的結(jié)果其中，N(Z)、D(Z)為最小相位序列，B的零極點(diǎn)在單位圓內(nèi)。②如將x(n)作用于B(Z)的逆系統(tǒng)1/B(Z)，輸出的是，這就是白化。③把IIRWF看做是由兩部分IIB(Z)和G(Z)級(jí)聯(lián)而成。兩步：一是向化處理得，二是用因果IIRF對(duì)濾波得到因果IIRWF的傳遞函數(shù)是進(jìn)一步

5、分析：求取步驟：（1）對(duì)進(jìn)行譜分解（因式分解）（2）對(duì)進(jìn)行因果和逆因果分解單位圓內(nèi)極點(diǎn)構(gòu)成的因果部分單位圓外極點(diǎn)構(gòu)成的非因果部分（3）計(jì)算因果IIR維納濾波器的傳遞函數(shù)（4）計(jì)算相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)——線積分2.3維納濾波器的均方誤差維納濾波器的均方誤差值為表示單位圓不相關(guān)其中這個(gè)互相關(guān)值可以由互功率譜來(lái)計(jì)算(1)非因果WF(2)因果WF(3)對(duì)于FIRWF問(wèn)題一IIRWF比FIRWF具有更好的均方差，為什么？非因果比因果IIRWF具有更小的均方差，為什么？主要是信息量不一樣問(wèn)題二為什么WF比一般同階線

6、性濾波器有更好的性能？2.4實(shí)際中因果IIR維納濾波器的設(shè)計(jì)與計(jì)算假設(shè)隨機(jī)信號(hào)的模型方程為：那么，接收的信號(hào)模型為：其中，a、c<1，是個(gè)常量。另外，如下假定：（1）（2）白噪聲的激勵(lì)，有用的白噪聲干擾，無(wú)用的(3)與、不相關(guān)設(shè)計(jì)時(shí)，先求出幾個(gè)功率譜：，，后對(duì)進(jìn)行譜分解，并與求出的比較接著得到參量：P為Ricatti方程的正解。最后計(jì)算代入的公式，即