正多項(xiàng)式和最佳平方逼近

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1、2.4正多項(xiàng)式和最佳平方逼近總結(jié)2.4.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近2.4.2連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式2.4.1離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式2.4正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具，這里只介紹正交多項(xiàng)式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們?cè)跀?shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。2.4.1離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式設(shè)有點(diǎn)集，函數(shù)　和　在離散意義下的內(nèi)積定義為(2.4.1)其中為給定的權(quán)數(shù)。在離散意義下，函數(shù)　的2范數(shù)定義為(2.4.2)有了內(nèi)積，就可以定義

2、正交性。若函數(shù)　和　的內(nèi)積　，則稱兩者正交。若多項(xiàng)式組在離散意義下的內(nèi)積滿足(2.4.3)則稱多項(xiàng)式組為在離散點(diǎn)集上的帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。下面給出離散點(diǎn)上正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法.給定點(diǎn)集和權(quán)數(shù)，并且點(diǎn)集中至少有個(gè)互異，則由下列三項(xiàng)遞推公式（2.4.4）給出的多項(xiàng)式序列是正交多項(xiàng)式序列，其中(2.4.5)三項(xiàng)遞推公式（2.4.4）是構(gòu)造正交多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單公式，此外，還有其他的特殊的情形，這里，不進(jìn)一步討論。例2.10已知點(diǎn)集和權(quán)數(shù)試用三項(xiàng)遞推公式求關(guān)于該點(diǎn)集的正交多項(xiàng)式　　　　　　　　。解先令，由此得由此得從而有其中的為給定的權(quán)函數(shù)。按連續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項(xiàng)式組滿足條件

3、(2.4.3),則稱它為在區(qū)間上的帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列.完全類似于離散情況下的正交多項(xiàng)式的構(gòu)造方法,連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式序列同樣可以由遞推公式(2.4.4)和(2.4.5)構(gòu)造,其中內(nèi)積按(2.4.6)式定義.下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式.(1)Legendre多項(xiàng)式.Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式2.4.2連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變。函數(shù)和在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為（2.4.6）(2.4.7)給出.它們是在區(qū)間　上的帶權(quán)　的正交多項(xiàng)式.前幾個(gè)Legendre多項(xiàng)式如下:它們的

4、根都是在開(kāi)區(qū)間上的單根,并且與原點(diǎn)對(duì)稱.(2)第一類Chebyshev多項(xiàng)式.第一類Chebyshev多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出.它們是在區(qū)間上的帶權(quán)　的正交多項(xiàng)式.前幾個(gè)第一類Chebyshev多項(xiàng)式如下:(2.4.8)它們的根都在開(kāi)區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱。（3）Legendre多項(xiàng)式。Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間[0，+∞)上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Legendre多項(xiàng)式如下:它們的根都是在區(qū)間（0，+∞）上的單根。(4)Hermite多項(xiàng)式Hermite多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-∞，+∞）上帶權(quán)的正

5、交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Hermite多項(xiàng)式如下：它們的根都在區(qū)間（-∞，+∞）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱2.4.3連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近定理2.6在[a,b]上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式Gn≠０，其中連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上定義了內(nèi)積（2.4.6）就形成了一個(gè)內(nèi)積設(shè)在[a,b]上連續(xù)，如果當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則稱在[a,b]上是線性無(wú)關(guān)的。對(duì)于函數(shù)組　的線性無(wú)關(guān)性，有如下定理?？臻g。在Rn空間中任一向量都可用它的線形無(wú)關(guān)的基表示，類似地，對(duì)內(nèi)積空間任一元素f(x)∈C[a,b]，也可用線形無(wú)關(guān)的基表示。則稱是發(fā)f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)。下面我們先討論在區(qū)間

6、[a,b]上一般的最佳平方逼近問(wèn)題。設(shè)是C[a,b]中的線性無(wú)關(guān)函數(shù)，記對(duì)于f(x)∈C[a,b],若存在，使得求等價(jià)于求多元函數(shù)的極小值。利用多元函數(shù)求極小值的必要條件有按內(nèi)積的定義，上式可寫(xiě)為這是關(guān)于的線性方程組，稱為法方程。由于線性無(wú)關(guān)，故（2.4.12）的系數(shù)距陣非奇異，于是（2.4.12）有唯一解。從而得到該式滿足（2.4.11），即對(duì)任意，有事實(shí)上，有（2.4.12）知因此，對(duì)任意　，有，從而也有于是這就證明了（2.4.14），從而也證明了f在中的最佳平方逼近的存在唯一性。若令，則稱為最佳逼近的誤差，稱(2.4.15)為平方誤差?？紤]特殊情形，設(shè)[a,b]

7、=[0,1],。對(duì)于f∈C[a,b],在中最佳平方逼近多項(xiàng)式可以表示為相應(yīng)于法方程（2.4.12）中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert矩陣?yán)?.11設(shè)　，求[0，1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解由于得方程組解得a0=0.394,a1=0.246。從而最佳平方逼近為平方誤差由于Hilbert矩陣是病態(tài)的（見(jiàn)第4章），用　　作基時(shí)，求法方程的解，舍入誤差很大。實(shí)用的辦法是采用正交多項(xiàng)式作基。若　是中的正交多項(xiàng)式組，則有（2.4.12）得。于是f(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式為例2.12設(shè)f(x)=ex,在[-1,1]上用legendre多項(xiàng)式作f的三次多次最