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《線性代數(shù)課件--5.3向量空間的基和維》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、1、基和維的概念2、再論線性代數(shù)方程組的解§5.3向量空間的基和維定義設V為向量空間?如果r個向量a1?a2?????ar?V?且滿足(1)a1?a2?????ar線性無關(guān)?(2)V中任一向量都可由a1?a2?????ar線性表示?那么?向量組a1?a2?????ar就稱為向量空間V的一個基?r稱為向量空間V的維數(shù)?并稱V為r維向量空間?注（1）只有零向量的向量空間沒有基?規(guī)定其維數(shù)為0?（2）若把向量空間V看作向量組?則向量空間V的基就是向量組的最大無關(guān)組?向量空間V的維數(shù)就是向量組的秩?（3
2、）向量空間的基不唯一.5.3.1基和維定義如果在向量空間V中取定一個基a1?a2?????ar?那么V中任一向量x可唯一地表示為x??1a1??2a2??????rar?數(shù)組?1??2??????r稱為向量x在基a1?a2?????ar中的坐標?在向量空間Rn中以單位坐標向量組e1?e2?????en為基?則向量x?(x1?x2?????xn)T可表示為x?x1e1?x2e2?????xnen?可見向量在基e1?e2?????en中的坐標就是該向量的分量?注線性空間V的任意向量在不同的基下的坐標
3、一般不同,但一個向量在一組基下的坐標是唯一的．注求一向量在一組基下的坐標表示歸結(jié)為討論線性代數(shù)方程組有無解的問題.解例設A?a1?(2?2??1)T?a2?(2??1?2)T?a3?(?1?2?2)T?B?b1?(1?0??4)T?b2?(4?3?2)T?驗證a1?a2?a3是R3的一個基?并求b1?b2在這個基中的坐標?解所以b1?b2在基a1?a2?a3中的坐標依次為例設A?a1?(2?2??1)T?a2?(2??1?2)T?a3?(?1?2?2)T?B?b1?(1?0??4)T?b2?(4
4、?3?2)T?驗證a1?a2?a3是R3的一個基?并求b1?b2在這個基中的坐標?例在R3中取定一個基a1?a2?a3?再取一個新基b1?b2?b3?設A?(a1?a2?a3)?B?(b1?b2?b3)?求用a1?a2?a3表示b1?b2?b3的表示式(基變換公式)?并求向量在兩個基中的坐標之間的關(guān)系式(坐標變換公式)?即基變換公式為(b1?b2?b3)?(a1?a2?a3)A?1B?矩陣P?A?1B稱為從舊基到新基的過渡矩陣?解由(a1?a2?a3)?(e1?e2?e3)A?得(e1?e2?e
5、3)?(a1?a2?a3)A?1?故(b1?b2?b3)?(e1?e2?e3)B?(a1?a2?a3)A?1B?解基變換公式為(b1?b2?b3)?(a1?a2?a3)A?1B?設向量x在舊基和新基中的坐標分別為y1?y2?y3和z1?z2?z3?這就是從舊坐標到新坐標的坐標變換公式?例在R3中取定一個基a1?a2?a3?再取一個新基b1?b2?b3?設A?(a1?a2?a3)?B?(b1?b2?b3)?求用a1?a2?a3表示b1?b2?b3的表示式(基變換公式)?并求向量在兩個基中的坐標之間
6、的關(guān)系式(坐標變換公式)?定理設b1、…、bs及f1、…、ft是向量空間的任兩組基，則必有s=t.定義向量空間V的任一基向量的個數(shù),稱為空間V的維（dimension）,記這個數(shù)為dimV證利用等價向量組根據(jù)向量空間基的定義可知兩組基等價的，從而其秩相等：由基的定義知兩組向量組都線性無關(guān)，即從而由于Rn有一組明顯的自然基，故有dimRn=n,即Rn是n維向量空間.若S是Rn的任一子空間，則注盡管子空間S的維可以低于n，但它的任一向量卻是n維向量,亦即空間維數(shù)與向量維數(shù)是不同的概念.例考慮練習2中
7、給出的向量空間其中試求dimV1.解由于其中故知V1中任一向量x皆可依a1,a2線性表出.又因矩陣之秩為2，故a1,a2線性無關(guān)，故a1,a2是V1的基，從而dimV1=2.但是a1,a2以及V1中的任一向量x皆為4維向量.5.3.2再論線性代數(shù)方程組的解5.3.2.1齊次方程組m?n齊次線性代數(shù)方程組的解集N(A)是向量空間，現(xiàn)在進一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常數(shù)的個數(shù)n-r(A)就是N(A)的維數(shù)dimN(A),即基礎解系就是N(A)的一組基，它們線性無關(guān)，并生成N(A).齊
8、次方程組的通解式（或基礎解系）不惟一確定，但通解式中獨立任意常數(shù)的個數(shù)是確定的，每一任意常數(shù)對應一個基向量，而基向量個數(shù)一定是n-r(A)個.例試解齊次線性代數(shù)方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換故r(A)=2,又n=4,方程組有非零解且?guī)в衝-r(A)=2常數(shù).取等價方程組則方程組的通解為基礎解系的構(gòu)成及特點(1)每一個向量都是齊次方程組的解;(2)基礎解系中共有n-r(A)個向量；(3)這組向量線性無關(guān).根據(jù)通解的表達，該齊次方程組的解集可記為因為線性無關(guān)，即為N(A)的一組基，于是而通解中的兩
