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1、關(guān)于“丟番圖（Diophantus）猜想”的論證丟番圖（Diophantus）猜想：如果是兩個正整數(shù)，且是完全平方數(shù)，那么：則：是一級“勾股數(shù)組”。命題一：在直角三角形中，對于任意給定的一直角邊為一個正奇數(shù)（），則一定存在正奇數(shù)和正偶數(shù)，使之滿足：;且組成“勾股數(shù)組”的數(shù)量為：在的因數(shù)中小于或等于的所有正奇因數(shù)的個數(shù)之和；其“勾股數(shù)組”的計(jì)算公式為：.證明：充分性假設(shè)在直角中，，兩條直角邊分別為，斜邊為；令為正奇數(shù)，并且，、均為正整數(shù)。根據(jù)“勾股定理”可得：（1）令：.由此推出：（2）把（2）代入（1）可得：所以經(jīng)整理可得：并可以推出：（3）再令：.（4）由（4）
2、可知：（5）9把（5）代入（3）可得：所以，（6）由此我們把（2）、（4）、（6）綜合可得如下結(jié)論：（7）因?yàn)槎际钦麛?shù)，由（6）式可知：則也是正整數(shù)；所以令：（其中的整數(shù)）.由（4）可得：故：.由（4）式可知：因?yàn)?，故就一定是一個完全平方數(shù)；所以（7）式可轉(zhuǎn)化為：（8）因?yàn)椋忠驗(yàn)?是一個完全平方數(shù)且又是偶數(shù)，所以，的偶數(shù)；故;即：.（9）由（8）式可得：所以，（10）由（10）式可知：又因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以為中的正奇因數(shù)。而是偶數(shù)，且又是完全平方數(shù)，又因?yàn)闉檎鏀?shù)，因此就一定是偶數(shù)，，故的偶數(shù)，又，都是偶數(shù)，所以為偶數(shù)；又，而為奇數(shù)，則為奇數(shù)。又由于：.的正偶數(shù).
3、故：即：（11）解這個不等式可得：.由（8）式可得：故不合題意去。所以，不等式（11）的解集為：.（12）綜上所述，當(dāng)?shù)恼鏀?shù)時，則的取值為：的因數(shù)中小于或等于的每一個正奇因數(shù)，因此在9的正奇因數(shù)中，有多少個小于或等于的正奇因數(shù)，那么就會產(chǎn)生多少個相應(yīng)的正奇數(shù)，再由來計(jì)算并產(chǎn)生相應(yīng)的正偶數(shù)，在得到正奇數(shù)的值之后，就可利用如下公式：.（13）來計(jì)算相應(yīng)的正偶數(shù)，從而可得到了以給定的正奇數(shù)作為一直角邊的所有“勾股數(shù)組”。必要性：若一個三角形的三邊滿足：.則：而.命題一證畢.下面舉例說明“命題一”的使用方法：例：當(dāng)直角三角形的一條直角邊時，能組成多少個“勾股數(shù)組”？并指
4、出每一個“勾股數(shù)組“的具體組合.解：而在中小于283的正奇因數(shù)共有22個9（分別為：1，3，5，7，9，15，21，25，27，35，45，49，63，75，81，105。135，147，175，189，225，249），所以，以315作為一直角邊所構(gòu)成的“勾股數(shù)組”共有22個；詳見下表：以315為直角三角形的一直角邊所組成的“勾股數(shù)組”表序號中小于283的因數(shù)的取值的取值（）把代入公（13）計(jì)算11=1149298（315,49612，49613）23=3316224（315，16536，16539）35=559610（315，9920，9925）47=7767
5、76（315，7084，7091）5=995202（315，5508，5517）6=15153000（315，3300，3315）7=21212058（315，2352，2373）8=25251682（315，1972，1997）9=27271536（315，1824，1851）10=35351120（315，1400，1435）11=4545810（315，1080，1125）12=4949722（315，988，1037）13=6363504（315，756，819）14=7575384（315，624，699）15=8181338（315，572，653）1
6、6=105105210（315，420，525）17=135135120（315，300，435）18=14714796（315，264，411）19=17517556（315，196，371）29=18918942（315，168，357）21=22522518（315，108，333）22=24524510（315，80，325）命題二：在直角三角形中，任意給定的一直角邊為一個偶數(shù)（）時，則一定存在正整數(shù)，使之滿足：；且組成“勾股數(shù)組”的數(shù)量為：在的因數(shù)中小于或等于的所有正偶因數(shù)的個數(shù)之和，其“勾股數(shù)組”的計(jì)算公式為：.證明：充分性假設(shè)：在直角中，，兩條直角邊
7、長分別為，斜邊為9，其中為正偶數(shù)，、均為正整數(shù)。根據(jù)勾股定理可得：（1）則令：（其中的整數(shù)）由此推出：（2）把（2）代入（1）可得：所以，經(jīng)整理可得：并可以推出：（3）再令：（其中的整數(shù)）（4）由（4）可得：（5）把（5）代入（3）可得：所以，（6）由此我們把（2）、（4）、（6）綜合可得如下結(jié)論：（7）因?yàn)槭钦麛?shù)，由（6）式可知：也是正整數(shù)。所以，令：（其中的整數(shù)）.9故：由（4）式可知：，故就一定是一個完全平方數(shù)；所以（7）式可轉(zhuǎn)化為：（8）因?yàn)?，又因?yàn)槭且粋€完全平方數(shù)且又是偶數(shù)，所以的偶數(shù)；在式子：中，因?yàn)槭桥紨?shù)，也是偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以的偶數(shù)，故，即：
8、。又因?yàn)椋?/p>
