近世代數(shù)課件--3.5子環(huán)、環(huán)的同態(tài)

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1、近世代數(shù)(AbstractAlgebra)研究方法：近世代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)（帶有運(yùn)算的集合）群環(huán)域1、研究其子系統(tǒng)、商系統(tǒng)（從內(nèi)部入手）（從外部入手）2、研究其同態(tài)和同構(gòu)子系統(tǒng)：子群、子環(huán)、子域商系統(tǒng)：商群、商環(huán)、商域§3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教學(xué)目的：§3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)（1）掌握子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域）的定義及其等價(jià)條件；（2）掌握環(huán)的同態(tài)及其若干性質(zhì)；（3）理解并能使用“挖補(bǔ)定理”;（4）掌握類比的數(shù)學(xué)思想.10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、子環(huán)定義及等價(jià)條件（與群相類比給出

2、）：下面我們把環(huán)與群類比，把環(huán)看作是具有一個(gè)乘法運(yùn)算的加群，即設(shè)想加群是基礎(chǔ)，而乘法是環(huán)的“靈魂”。甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納和類比?！▏?guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯類比是通過(guò)兩類不同對(duì)象A,B間的某些屬性的相似，從而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院在群論中在環(huán)論中定義1：設(shè)，稱G為群，若G對(duì)其上的一種代數(shù)運(yùn)算滿足：（I）閉合律；（II）結(jié)合律；（III）存在單位元；（IV）G中任一元素存在逆元。定義3：設(shè)為群，稱G的子集H為G的子群，若對(duì)于G的乘法來(lái)說(shuō)H也作成一個(gè)群。記作：。定義

3、2：設(shè)，且R帶有加法和乘法兩種運(yùn)算，稱R為環(huán)，若R滿足(i)為加群；(ii)為半群；(iii)分配律成立。定義4：設(shè)，R為環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域）,稱R的子集S為的R子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域），若S對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)也作成一個(gè)環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域）。記作：（S是R的子環(huán)時(shí)）。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例1：一個(gè)環(huán)R至少包含兩個(gè)子環(huán)R和。例2：設(shè)R=Z,則是R的子環(huán)。二、子環(huán)的存在性及其例子：（平凡子環(huán)）例3：設(shè)R=Mn(F)(域F上的全矩陣環(huán)），則是R的子環(huán)。（因?yàn)?，的元素可交換）（子除環(huán)、子域）10/8/2021

4、數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例4：設(shè)，，?？梢则?yàn)證，例5：設(shè)。則容易驗(yàn)證：10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例6：設(shè)。現(xiàn)定義的運(yùn)算：（1）容易驗(yàn)證，關(guān)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)。（2）容易驗(yàn)證令。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定義：設(shè)和是兩個(gè)環(huán)，則稱和同態(tài)（同構(gòu)），若滿足三、環(huán)的同態(tài)及其若干性質(zhì)（2）保持運(yùn)算（保持加法和乘法運(yùn)算）此時(shí)記和的同態(tài)（同構(gòu)）為：。（1）存在滿射（雙射）；10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例7：設(shè)，,作。容易驗(yàn)證是同態(tài)。例8：設(shè)，?，F(xiàn)定義的運(yùn)算：（1）可以驗(yàn)證，關(guān)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)。（2）容易

5、驗(yàn)證是同態(tài)。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院具有同樣多代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)間的同態(tài)可以保持相應(yīng)的結(jié)合律、交換律和分配律。定理2（§1.8,P22）：假定，都是集合A的代數(shù)運(yùn)算，都是集合的代數(shù)運(yùn)算，和同態(tài)，那么，（i）若適合第一分配律，也適合第一分配律；（ii）若適合第二分配律，也適合第二分配律。定理1（§1.8,P22）：假定，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和來(lái)說(shuō)，和同態(tài)，那么，（i）若適合結(jié)合律，也適合結(jié)合律；（ii）若適合交換律，也適合交換律。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院定理b(P43)：設(shè)，為兩個(gè)群，若，則有：（1）的單位元

6、的同態(tài)象是的單位元；（2）的元的逆元的同態(tài)象是的同態(tài)象的逆元。定理a(P40)：設(shè)G，，都帶有一種代數(shù)運(yùn)算，且,若G為群則也是一個(gè)群.在群論中在環(huán)論中定理1：設(shè)與都帶有加法和乘法兩種運(yùn)算,且，若是環(huán)，則也是環(huán)。定理2：設(shè)和是兩個(gè)環(huán)，若，則有：（1）；（2）；（3）可交換，則也可交換；（4）有單位元1，則也有單位元，且。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院由上面的討論我們可以看出，經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射之后，環(huán)的單位元和交換律是可以保持的。我們知道，若干普通計(jì)算方法在一個(gè)一般的環(huán)里不成立，它們要在有附加條件的環(huán)里才能成立。由§3

7、.2知，環(huán)里的三種非常重要附加條件是：交換律、單位元和零因子。那么現(xiàn)在的問(wèn)題是：一個(gè)環(huán)有沒(méi)有零因子這個(gè)性質(zhì)經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射之后可不可以保持呢？10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例7：設(shè)，,作。（1）容易驗(yàn)證是同態(tài)。（2）可以看出無(wú)零因子，而卻有零因子，因?yàn)椤Ｗⅲ捍死砻鳎?，無(wú)零因子，但卻有零因子。反過(guò)來(lái)，結(jié)論又會(huì)如何呢？即若，無(wú)零因子，是否有零因子呢？10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例8：設(shè)，?，F(xiàn)定義的運(yùn)算：（1）容易驗(yàn)證，關(guān)于所定義的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)。作。（2）容易驗(yàn)證是同態(tài)。（3）可以看出無(wú)零因子，而卻有零因子，

8、因?yàn)閷?duì)于，我們有。注：此例表明：，有零因子，但卻沒(méi)有零因子。10/8/2021數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院但若把同態(tài)換為同構(gòu)的話，則這個(gè)環(huán)的代數(shù)性質(zhì)當(dāng)然沒(méi)有什么區(qū)別了，所以有：上兩例表明：一個(gè)環(huán)有沒(méi)有零因子這個(gè)性質(zhì)經(jīng)過(guò)了一個(gè)同態(tài)滿射后不一定能保持的。（除環(huán)、域）（除環(huán)、域）定理3：設(shè)和是兩個(gè)環(huán)，并且，那么若是整環(huán)