資源描述：
《高等數(shù)學(xué)全微分》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第三節(jié)全微分全微分的定義可微的條件連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系小結(jié)、作業(yè)應(yīng)用一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)
2、存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x的偏增量因此有推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.所以函數(shù)在點(diǎn)可微.注意到,故有可微連續(xù)可導(dǎo)???在多元函
3、數(shù)中,三者的關(guān)系如何？二、連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)TH1TH2可微的定義TH1的反例例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束將y,z看成常數(shù):將x,z看成常數(shù):例解將x,y看成常數(shù):故例解解證不存在.證（1）令故函數(shù)),(yxf在點(diǎn))0,0(連續(xù)。即，函數(shù)),(yxf在點(diǎn))0,0(偏導(dǎo)數(shù)存在。(2)),(yxf在點(diǎn))0,0(不可微.如果考慮點(diǎn)),(yxPDD￠沿著直線xy=趨近于)0,0(，如果考慮點(diǎn)),(yxPDD￠沿著直線xy=趨近于)0
4、,0(，多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在１．多元函數(shù)全微分的概念；２．多元函數(shù)全微分的求法；３．多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系．（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）四、小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.P72題1(總習(xí)題八)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無(wú)窮小量;時(shí)是無(wú)窮小量.2.選擇題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03時(shí)△z=0.02,dz=0.033.P73
5、題7機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(L.P245例2)注意:x,y,z具有輪換對(duì)稱性作業(yè)習(xí)題8-31,(3)(4);2;3
