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《高等數(shù)學全微分》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)全微分全微分的定義可微的條件連續(xù)、可導與可微的關系小結、作業(yè)應用一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計算估計誤差機動目錄上頁下頁返回結束一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與x,y有關，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內可微.(2)偏導數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)
2、存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機動目錄上頁下頁返回結束反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在該點可微分.所以函數(shù)在點可微.注意到,故有可微連續(xù)可導???在多元函
3、數(shù)中,三者的關系如何？二、連續(xù)、可導與可微的關系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導TH1TH2可微的定義TH1的反例例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數(shù)的全微分.解:機動目錄上頁下頁返回結束將y,z看成常數(shù):將x,z看成常數(shù):例解將x,y看成常數(shù):故例解解證不存在.證（1）令故函數(shù)),(yxf在點)0,0(連續(xù)。即，函數(shù)),(yxf在點)0,0(偏導數(shù)存在。(2)),(yxf在點)0,0(不可微.如果考慮點),(yxPDD￠沿著直線xy=趨近于)0,0(，如果考慮點),(yxPDD￠沿著直線xy=趨近于)0
4、,0(，多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在１．多元函數(shù)全微分的概念；２．多元函數(shù)全微分的求法；３．多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系．（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）四、小結1.微分定義:2.重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.P72題1(總習題八)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題機動目錄上頁下頁返回結束答案:也可寫作:當x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03時△z=0.02,dz=0.033.P73
5、題7機動目錄上頁下頁返回結束4.設解:利用輪換對稱性,可得機動目錄上頁下頁返回結束(L.P245例2)注意:x,y,z具有輪換對稱性作業(yè)習題8-31,(3)(4);2;3
