隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量

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1、第二章隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.1.1隨機(jī)變量的概念在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用數(shù)量來(lái)表示，這就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念。§2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)數(shù))；另一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果。即試驗(yàn)結(jié)果可以數(shù)值化。△試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例子4.觀察一只燈泡的使用壽命；5.測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量誤差，…。1.觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；2.連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)；3.某射手連續(xù)射擊了30次,他擊中目標(biāo)的次數(shù)；△試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，

2、但可引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果的例子在投籃試驗(yàn)中，用{0}表示投籃未中，{1}表示罰籃命中，{3}表示三分線外遠(yuǎn)投命中，{2}表示三分線內(nèi)投籃命中，則隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果可數(shù)值化。2.在擲硬幣試驗(yàn)中，用{1}表示帶國(guó)徽或人頭的一面朝上，{0}表示另一面朝上，則隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果也可數(shù)值化。這種隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可理解為:.X定義一個(gè)實(shí)值函數(shù)X(ω),將稱這種定義在樣本空間Ω上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(ω)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變

3、量是一個(gè)函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).說(shuō)明:(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件都可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。如：用X表示單位時(shí)間內(nèi)某信號(hào)臺(tái)收到呼叫的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量。事件{收到呼叫}?{X≥1}；{沒(méi)有收到呼叫}?{X=0}。(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)變量的取值一般用小寫(xiě)字母x,y,z等表示。隨機(jī)變量通常用英文大寫(xiě)字母X,Y,Z或希臘字母?，?等表示。隨機(jī)變量的分類離散型離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè),叫做離散型隨機(jī)變量

4、.觀察擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實(shí)例2若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,則X的可能值是:實(shí)例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X的所有可能取值為:實(shí)例2隨機(jī)變量X為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實(shí)例1隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.連續(xù)型隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)或某些區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為我們重點(diǎn)研究離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量，因它們都是隨機(jī)變量，自然會(huì)有許多相同或相似之處；但

5、因其取值方式不同，故又有其各自的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)要注意它們各自的特點(diǎn)及描述方法。稱為X的分布函數(shù)．(1)F(x)是普通函數(shù)，定義域0xxX2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.定義：注意：值域[0,1].(2)分布函數(shù)的幾何意義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)例.往一個(gè)半徑為2米的圓盤(pán)上射擊，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解:（1）若x<0,則是不可能事件，于是（2）X若0?x?2,由題意，有（3）若,則是必然事件，于是01231F(x)x綜上，X的分布函數(shù)為2.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)都有如下

6、性質(zhì)：(1)F(x)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)．01231F(x)x即F(x)是右連續(xù)的．反之,若某個(gè)實(shí)值函數(shù)具有上述性質(zhì),則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)．說(shuō)明：有的課本定義分布函數(shù)為這時(shí)，分布函數(shù)左連續(xù)。設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其可能取值為x1,x2,…。為描述隨機(jī)變量X，我們不僅要知道其所有可能的取值，還應(yīng)知道取各值的概率?！?.2離散型隨機(jī)變量說(shuō)明定義2.2.1離散型隨機(jī)變量分布律的定義及性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)數(shù)列是否是概率分布。（概率分布）離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或解：依據(jù)概率分布的性質(zhì)欲使上述數(shù)列為概率分布，應(yīng)有例1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為確定常數(shù)a。從中解得這里用到

7、了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2：袋子中有依次標(biāo)有-1，2，3的球1個(gè)、2個(gè)、1個(gè)，從中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào),求X的分布律和分布函數(shù)，并求：Xpk-123當(dāng)x<-1時(shí)，0２xX３-1x解：由古典概率得：X的分布律為：當(dāng)滿足Xx的X取值為X=-1,２xX３-1x當(dāng)滿足Xx的X取值為X=-1,或2Xpk-123同理當(dāng)-10123x1ooo設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為pk=P{X=xk},k=1,2,…,X的分布函數(shù)為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)另解注意：已