其中可取任意數(shù)

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1、向量與線性方程組61其中可取任意數(shù)。令分別取和得到方程組（2.15）的兩個線性無關(guān)的解向量因此，（2.15）的通解為：　其中可取任意數(shù)。2.5非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本節(jié)討論非齊次線性方程組　　　　（2.16）解的結(jié)構(gòu)。向量與線性方程組61設(shè)，　分別稱他們?yōu)榉匠探M（2.16）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。非齊次線性方程組是否和齊次線性方程組一樣總是有解呢？這就不一定了。下面我們先討論非齊次線性方程組有解的條件。在方程組（2.16）中若記則（2.16）可以表示為下列向量方程　　　　　　　　　　　　　　（2.17）顯然，若方程

2、組（2.16）有解，則向量b就能由向量組線性表示；反之，若向量b能由向量組線性表示，則存在一組數(shù)，使即是向量方程（2.17）的解，也就是方程組（2.16）的解向量。另一方面，若向量b能由向量組線性表示，那么在增廣矩陣B中，最后一列的向量組可以表示為系數(shù)矩陣A的列向量組的線性組合。所以，矩陣A與矩陣B的秩相等。即，反之，若，那么，向量組與向量組有相同的秩。若是的一個最大無關(guān)組，則也是向量與線性方程組61的一個最大無關(guān)組，則b可以由線性表示，從而b可以由線性表示。綜上所述，可得如下定理定理2.7　非齊次線性方程組（2.

3、16）有解的充要條件是，他的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。例2.9　解下列線性方程組　　　解（１）對增廣矩陣施行初等行變換由上式最后一個行階梯形矩陣可知該方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于２，也就是說該方程組有解，繼續(xù)對上述行階梯形矩陣施行初等行變換向量與線性方程組61由上面最后一個行最簡形矩陣可得該方程組的一般解　　　　　　　　　　　其中可取任意數(shù)。（２）對增廣矩陣B施行初等行變換由上式的最后一個行階梯形矩陣可知該方程組的系數(shù)矩陣的秩等于２，而增廣矩陣的秩等于３，因此該方程組無解。對于非齊次線性方程組（2.1

4、6）和它所對應(yīng)的齊次線性方程組（2.1），由于其系數(shù)矩陣相同，他們的解之間有以下密切的聯(lián)系。性質(zhì)2.4　設(shè)x和y是非齊次線性方程組（2.16）的兩個解向量，則x－y是（2.16）所對應(yīng)的齊次線性方程組的解向量。性質(zhì)2.5　設(shè)x是非齊次線性方程組（2.16）的一個解向量，y是（2.16）所對應(yīng)的齊次線性方程組的解向量，則x+y是（2.16）的解向量。性質(zhì)2.6　設(shè)x0非齊次線性方程組（2.16）的一個已知解（稱為特解），則（2.16）的任意一個解向量都可以表示為x0與（2.1）的某個解向量的和。事實上，設(shè)x是（2.1

5、6）的任意一個解向量，則由性質(zhì)４知x－y是（2.1）的解向量。于是x＝x0+（x-x0）定理2.8　把非齊次線性方程組（2.16）的某個特解加到對應(yīng)的齊次線性方程組（2.1）的每一個解向量上，就得到（2.16）的全部解向量。在例2.8的第一個方程組的一般解中，令可得到該方程組的一個特解是，而相應(yīng)的齊次線性方程組的通解為向量與線性方程組61　其中可取任意數(shù)。那么原方程組的通解為　其中可取任意數(shù)。習(xí)題二2.1討論下列向量組的線性相關(guān)性（1）（2）（3）（4）2.2求下列矩陣的秩（1）（2）向量與線性方程組61（3）2.

6、3求解下列齊次線性方程組（1）（2）（3）2.4求一個齊次線性方程組使他的基礎(chǔ)解系為　　　　　2.5求下列非齊次線性方程組的通解（１）　　?。ǎ玻ǎ常　?.6若向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)。試證可以由線性表示。2.7設(shè)線性方程組向量與線性方程組61定義2.8　設(shè)是齊次線性方程組（2.1）的r個解向量，如果（1）線性無關(guān)。（2）式（2.1）的任意一個解向量都可以由線性表示。則稱是齊次線性方程組（2.1）的一個基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系不是唯一的，但由定理2.5后面的討論知道，每個基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相同。下面來討論基礎(chǔ)解系

7、究竟含有多少個解向量。設(shè)齊次線性方程組（2.1）的系數(shù)矩陣的秩。不妨設(shè)A中左上角r階子式。將看成常數(shù)，由Cramer法則可以得到式（2.1）的解　　　　?。?.13）其中可取任意數(shù)。方程（2.1）的這種形式的解稱為（2.1）的一般解。如果分別取，則可以得到（2.1）的n-r個向量與線性方程組61線性無關(guān)的解向量這里由作為列向量構(gòu)成的矩陣中，有一個n-r階子式　　　　　　　　　　　因此，上述向量組線性無關(guān)．（2.12）可以表示為即　　　　　　　（2.14）其中可取任意數(shù)。由此可見，方程組（2.1）的任意一個解都可以表

8、示為的線性組合。因此是（2.1）的一個基礎(chǔ)解系。此時稱（2.14）為齊次線性方程組（2.1）的通解。　由此可見，齊次線性方程組（2.1），如果其系數(shù)矩陣的秩為r向量與線性方程組61，則其基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量。例2.8　求下列齊次線性方程組的通解　　　　　　　　　　（2.15）解　系數(shù)矩陣，對A施行初等行變換由上述最后一個行階梯形矩陣可知，方程組（2.1