定積分的MonteCarlo計算方法的實現(xiàn)

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1、《計算機高級語言》認(rèn)知實習(xí)報告課題名稱：定積分的MonteCarlo計算方法的實現(xiàn)指導(dǎo)老師：王玉蘭小組成員：200907020302曾穎超200907020301李海全200807020111向慧實習(xí)時間：2010.12.27——2010.01.08摘要：本次實習(xí)設(shè)計并實現(xiàn)定積分的MonteCarlo計算方法，采用VC++6.0開發(fā)完成。一、設(shè)計任務(wù)與要求1、設(shè)計內(nèi)容2、設(shè)計要求二、MonteCarlo算法引導(dǎo)1、MonteCarlo算法的概念2、MonteCarlo算法的例子三、MonteCarlo思想計

2、算定積分的實現(xiàn)1、定積分的定義2、MonteCarlo算法的積分原理四、詳細(xì)設(shè)計及實現(xiàn)五、總結(jié)六、參考資料附錄：源程序一、設(shè)計任務(wù)與要求1、設(shè)計內(nèi)容針對某具體函數(shù)f(x)形式，利用MonteCarlo算法實現(xiàn)積分。2、設(shè)計要求1)學(xué)習(xí)MonteCarlo計算數(shù)值的積分方法；2)就某個具體的被積函數(shù)f(x)的定積分，設(shè)計算法步驟;3)編寫程序?qū)崿F(xiàn)算法；4）對程序進行調(diào)試和測試，使用有解析解的定積分以便計算對比；二、MonteCarlo算法引導(dǎo)1、MonteCarlo算法的概念非形式化地說，MonteCarlo

3、算法泛指一類算法。在這些算法中，要求解的問題是某隨機事件的概率或某隨機變量的期望。這時，通過“實驗”方法，用頻率代替概率或得到隨機變量的某些數(shù)字特征，以此作為問題的解。2、MonteCarlo算法的例子如圖(1)所示，在一個1平方米的正方形木板上，隨意畫一個圈，求返個圈的面積。圖(1)假設(shè)我手里有一支飛鏢，我將飛鏢擲向木板。木板，我們假定每一次都能擲在木板上，不會偏出木板，但每一次擲在木板的什么地方，是完全隨機的。即，每一次擲飛鏢，飛鏢扎進木板的任何一點的概率的相等的。返樣，我們投擲多次，例如100次，然后

4、我們統(tǒng)計返100次中，扎入不規(guī)則圖形內(nèi)部的次數(shù)，假設(shè)為k，那么，我們就可以用k/100*1近似估計不規(guī)則圖形的面積，例如100次有32次擲入圖形內(nèi)，我們就可以估計圖形的面積為0.32平方米從上述可以看出，Monte-Carlo算法區(qū)別不確定性算法，它的解不一定是準(zhǔn)確或正確的，其準(zhǔn)確或正確性依賴于概率和統(tǒng)計，但在某些問題上，當(dāng)重復(fù)實驗次數(shù)越夠大時，可從很大概率上（返個概率是可以在數(shù)學(xué)上證明的，但依賴于具體問題）確保解的準(zhǔn)確或正確性，所以，我們可以根據(jù)具體的概率分析，設(shè)定實驗的次數(shù)，從而將誤差或錯誤率降到一個可

5、容忍的程度。三、Monte-Carlo思想計算定積分的實現(xiàn)1、定積分的定義2、MonteCarlo積分法的原理1.定積分的定義如圖2，定積分就是求函數(shù)在區(qū)間[a,b]中圖線下包圍的面積，即y=0,x=a,x=b,y=f(x)所包圍的面積。一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。2、Mon

6、teCarlo積分法的原理求定積分的直觀意義就是求面積，所以，用MonteCarlo求積分的原理就是通過模擬統(tǒng)計方法求解面積。即通過向特定區(qū)域隨機產(chǎn)生大量點，然后統(tǒng)計點落在函數(shù)區(qū)域內(nèi)的頻率，以此頻率估計面積，從而得到積分值。四、詳細(xì)設(shè)計及實現(xiàn)根據(jù)蒙特卡洛算法的概念，將落在數(shù)學(xué)函數(shù)f(x)里面的隨機點收集起來并計算出數(shù)量，這樣可以計算出蒙特卡洛因子。然后就可計算出函數(shù)f(x)的積分。我們把積分區(qū)間較長的函數(shù)進行分段求解，然后再求和。希望以此來提高精確性和縮短時間。五測試被積函數(shù)：f(x)=sin(x),x∈[

7、0,20]積分精確解為：0.591917把區(qū)間分為N段，隨機點個數(shù)為n個以下是測試數(shù)據(jù)nN積分誤差（取正）時間/毫秒10610.566960.02495723810620.58220.00971746510640.592270.00035393110680.5909450.0009721,813106160.595310.0033933,566106320.5951810.0032647,17910710.5986440.0067272,30810720.5960520.0041354,60710740.5

8、977180.0058019,01110780.59310.00118317,847107160.5903590.00155835,352六總結(jié)用蒙特卡洛方法計算定積分具有普遍意義。根據(jù)以上試驗我們了解到，對于求解一些非常規(guī)的問題我們有了新思路，即一個不具隨機性的事件可以通過一定的方法用隨機事件來模擬或逼近。參考文獻(xiàn)WilliamH.Press等著，傅祖蕓等譯，C數(shù)值算法（第二版）電子工業(yè)出版社，2004.01同