06上A、B期中參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

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1、東南大學(xué)考試卷課程名稱高等數(shù)學(xué)A、B期中考試學(xué)期06-07-2得分適用專業(yè)工科類考試形式閉卷考試時(shí)間長(zhǎng)度120分鐘學(xué)號(hào)姓名一.填空題（前四題每題4分，第5題8分，滿分24分）1．函數(shù)的全部間斷點(diǎn)分別是，它們的類型依次分別為跳躍間斷點(diǎn)，無窮間斷點(diǎn)；2．已知，則，；3．設(shè)，其中為可微函數(shù)，則微分；4．設(shè)，若在處可導(dǎo)，則，；5．舉出符合各題要求的一例，并將其填寫在橫線上：（1）在處不連續(xù)，但當(dāng)時(shí)，極限存在的函數(shù)有，（2）在處連續(xù)，但在時(shí)不可導(dǎo)的函數(shù)有，（3）在處導(dǎo)數(shù)為，但不為極值點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)有，（4）屬于“”或“

2、”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達(dá)法則求得的有.二.單項(xiàng)選擇題（每題4分，滿分12分）1．設(shè)是單調(diào)增函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)，都有意義，則下列函數(shù)組中全為單調(diào)減函數(shù)的是[C](A)(B)共4頁第4頁(C)(D)2．當(dāng)時(shí)，若是比更高階的無窮小，則[B](A)(B)(C)(D)3．下面四個(gè)論述中正確的是[D](A)若，且數(shù)列單調(diào)遞減，則數(shù)列收斂，且其極限(B)若，且數(shù)列收斂，則其極限(C)若，則(D)若，則存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有。三.計(jì)算題（每題7分，滿分35分）1．解：2.解：3．設(shè)，求.解：

3、4.設(shè)，求.共4頁第4頁解：5.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解：對(duì)方程關(guān)于求導(dǎo)得：，將代入得，于是所求切線方程為，即.四.（8分）設(shè)，證明數(shù)列收斂并求極限.證：，有上界。，設(shè)，，由歸納法得：?jiǎn)握{(diào)遞增，故收斂。設(shè)在遞推關(guān)系式中令，得，即，得，由極限保序性得，故五.（8分）證明：當(dāng)時(shí),有.證：設(shè)，，所以，故，原不等式得證。六.(7分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，共4頁第4頁，試證：存在一點(diǎn)，使得證：設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，使得，由于，得七．(6分)設(shè)(其中為正整數(shù))

4、，（1）證明：在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的，使；（2）計(jì)算極限.證：（1）令，，，，故，使得，在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。，記，，，即，在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，在內(nèi)至多存在一個(gè)零點(diǎn)。在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，記為。（2）由于，而嚴(yán)格單調(diào)遞減，故，所以，得，共4頁第4頁