比較 構(gòu)造 轉(zhuǎn)化（黃邵華 ）

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1、比較構(gòu)造轉(zhuǎn)化----淺淡由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的基本思想南寧二中黃邵華《數(shù)列》一章的知識(shí)是高考必考內(nèi)容，縱觀(guān)近幾年全國(guó)各個(gè)省市的高考題型，可以看到由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式已經(jīng)成為高考考察數(shù)列知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。對(duì)于較為基礎(chǔ)的等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及通過(guò)累加法、累乘法求通項(xiàng)公式，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，但通過(guò)構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求解通項(xiàng)公式的題型學(xué)生還是普遍感到比較困難和困惑。困難在于遇到問(wèn)題不知該如何下手，覺(jué)得毫無(wú)頭緒，困惑在于即使機(jī)械地記憶了一定遞推結(jié)構(gòu)下的破解方法，卻不知為何這么做，掌握不到解決這類(lèi)問(wèn)題的內(nèi)涵和精髓。本文通過(guò)對(duì)

2、幾類(lèi)較為常見(jiàn)的構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題的剖析，意在闡述如何通過(guò)比較不同遞推公式模型結(jié)構(gòu)上的異同，通過(guò)構(gòu)造法將較為復(fù)雜的由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的較為簡(jiǎn)單的類(lèi)型。數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的模型非常多，在此我僅以常見(jiàn)的幾種類(lèi)型為例進(jìn)行論述：類(lèi)型一：（是常數(shù)）及（是常數(shù)）；類(lèi)型二：（是關(guān)于的函數(shù)）及（是關(guān)于的函數(shù)）類(lèi)型三：（是常數(shù)，）類(lèi)型四：（是常數(shù)，）類(lèi)型五：（是常數(shù)，）一、對(duì)于類(lèi)型一和類(lèi)型二對(duì)于類(lèi)型一，顯然是等差（比）數(shù)列，學(xué)生可以直接利用等差（比）數(shù)列公式求和的方法解決；對(duì)于類(lèi)型二，學(xué)生也非常熟悉，我們稱(chēng)之為“類(lèi)

3、等差（比）數(shù)列”，可以分別利用累加或者累乘的方法解決，因?yàn)榇硕?lèi)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，在此就不再贅述。二、對(duì)于類(lèi)型三（是常數(shù)）對(duì)類(lèi)型一、二學(xué)習(xí)過(guò)后的學(xué)生初次面對(duì)類(lèi)型三時(shí)一定會(huì)將其跟類(lèi)型一二進(jìn)行比較，看看能不能通過(guò)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題（其實(shí)這就是學(xué)生一種無(wú)意識(shí)的轉(zhuǎn)化思想），但難點(diǎn)便在于如何轉(zhuǎn)化。將類(lèi)型三的結(jié)構(gòu)與類(lèi)型一對(duì)比：（），如果沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)（或者說(shuō)常數(shù)項(xiàng)為0），那么就是一個(gè)等比數(shù)列，如果沒(méi)有系數(shù)（或者說(shuō)系數(shù)為1），那么就是一個(gè)等差數(shù)列。于是引發(fā)我們的思考：能否想辦法構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列在的基礎(chǔ)上添加一些項(xiàng)，使得是一個(gè)等差或等比

4、數(shù)列呢？例1、已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路一：嘗試“消去常數(shù)項(xiàng)”，構(gòu)造等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一。解法一：設(shè)，根據(jù)待定系數(shù)法可得，所以，設(shè)，可得，，所以是一個(gè)首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一，因此，解得。思路二：嘗試“消去的系數(shù)”，構(gòu)造等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一。解法二：為了“消去的系數(shù)”，并且保證構(gòu)造數(shù)列的穩(wěn)定性，可以在原式的兩邊同時(shí)除以可得：，設(shè)，可得，且。雖然并沒(méi)有構(gòu)造出類(lèi)型一的等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)，但我們卻得到了類(lèi)型二的結(jié)構(gòu)，通過(guò)“累加法”即可解得，從而解得。雖然這道題還有別的方法求解，這兩種方法

5、也不一定最快捷，但思路卻很明確：對(duì)比這種新類(lèi)型問(wèn)題與已解決類(lèi)型問(wèn)題之間的結(jié)構(gòu)，通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法，通過(guò)不同的手段，將陌生的問(wèn)題都化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題。三、對(duì)于類(lèi)型四：（是常數(shù)，）對(duì)比類(lèi)型四和前幾種類(lèi)型的異同：與類(lèi)型一“”相同的是都有不為1的系數(shù)，不同的是類(lèi)型四后面多了有關(guān)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)；與類(lèi)型二“”相同的是都有與有關(guān)的函數(shù)，不同的是的系數(shù)不為1；與類(lèi)型三“”相同的是都有不為1的系數(shù)，且后面都有項(xiàng)，不同的是類(lèi)型三是常數(shù)項(xiàng)，而類(lèi)型四是指數(shù)項(xiàng)。通過(guò)三個(gè)對(duì)比，我們可以嘗試從這三個(gè)方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例2、已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

6、思路一：“消去一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)”，構(gòu)造等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一。解法一：設(shè)（這里要注意強(qiáng)調(diào)不要設(shè)，否則構(gòu)造的新數(shù)列就不具備“穩(wěn)定結(jié)構(gòu)”的特點(diǎn)了），根據(jù)待定系數(shù)法可得，所以，設(shè)，可得，，所以是一個(gè)首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列，從而將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一，因此，解得。思路二：“消去系數(shù)”，構(gòu)造“類(lèi)等差數(shù)列”，轉(zhuǎn)化為類(lèi)型二。解法二：在原式的兩邊同時(shí)除以可得：，設(shè)，可得，且，通過(guò)“累加法”即可解得，從而解得。思路三：“將一次項(xiàng)化為常數(shù)項(xiàng)”，構(gòu)造類(lèi)型三解法三：用待定系數(shù)法設(shè)，解得，從而有，設(shè)，則有，從而轉(zhuǎn)化為類(lèi)型三。但在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型三之后的解

7、法中，我們可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)待定系數(shù)法可得，而綜合這兩個(gè)步驟，事實(shí)上解法一一步就搞定了。盡管如此，解題過(guò)程雖然相對(duì)繁瑣，但畢竟將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化和解決，對(duì)于頭疼于由遞推求通項(xiàng)問(wèn)題的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也值得欣慰了。當(dāng)然，如果對(duì)思路三進(jìn)行進(jìn)一步的探索，我們還可以嘗試在原式兩邊同時(shí)除以，雖然可以將“將一次項(xiàng)化為常數(shù)項(xiàng)”，得到，但要構(gòu)造一個(gè)具有“穩(wěn)定結(jié)構(gòu)”的輔助數(shù)列，似乎比較困難。四、對(duì)于類(lèi)型五：（是常數(shù)，）對(duì)比類(lèi)型五和之前學(xué)習(xí)過(guò)的類(lèi)型的異同：與類(lèi)型一“”不同的是類(lèi)型五后面多了一項(xiàng)指數(shù)式；與類(lèi)型二“”相同的是都有與有關(guān)的函數(shù)，不同的是的系數(shù)不為

8、1；與類(lèi)型三“”不同的是類(lèi)型三中是常數(shù)項(xiàng)，而類(lèi)型五中是指數(shù)項(xiàng)。這似乎又給我們提供了三種轉(zhuǎn)化的思路。例3、已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。思路一：“消去指數(shù)式”，構(gòu)造等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一。解法一：設(shè)，根據(jù)待定系數(shù)法可得，所以，設(shè)，可得，，所以是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而將此問(wèn)題