截尾試驗(yàn)下指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)

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1、第14卷第4期工　科　數(shù)　學(xué)Vol.14,No.41998年8月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYAug.1998截尾試驗(yàn)下指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)湯勝道(華東冶金學(xué)院基礎(chǔ)課部,馬鞍山243000)摘要　在指數(shù)分布場(chǎng)合,定數(shù)或定時(shí)截尾試驗(yàn),文[1]給出了參數(shù)K在先驗(yàn)分布為#(A,B)分布的假設(shè)下的Bayes估計(jì).文[3]給出了在平方損失下的Bayes估計(jì).本文討論先驗(yàn)分布為B(a,b)分布時(shí),參數(shù)K的Bayes估計(jì).關(guān)鍵詞　先驗(yàn)分布　截尾試驗(yàn)　Bayes估計(jì)中圖法分類號(hào)　O21312一、產(chǎn)品的壽命分布及試驗(yàn)?zāi)Ｐ?é)產(chǎn)品的失效時(shí)間T的分布設(shè)產(chǎn)品的壽命服

2、從指數(shù)分布,密度函數(shù)為-Ktf(t)=Ke(t≥0,K>0).(ê)K的先驗(yàn)分布為B(a,b,K)分布,即1a-1b-1P(K)="(a,b,K)=K(1-K)(K>0;a,b>0).(111)"(a,b)引理1M12(n,無(wú),r)n個(gè)產(chǎn)品.無(wú)替換定數(shù)截尾試驗(yàn).r個(gè)失效,失效時(shí)間分別為t1≤t2≤?≤tr,則它們的聯(lián)合條件密度為r-Ksf1(t1t2?tr?K)=n!?(n-r)!Ke1(K>0),(112)其中s1=t1+t2+?+tr+(n-r)tr.引理2M22(n,有,r)子樣容量為n,定數(shù)截尾為r的有替換定數(shù)截尾試驗(yàn),則(t1?tr)的聯(lián)合條件密度為r-Ksf2(t1?

3、tr?K)=(Kn)e2(K>0)(113)其中　s2=ntr.引理3M32(n,無(wú),S)n個(gè)受試產(chǎn)品,無(wú)替換定時(shí)截尾試驗(yàn),其失效時(shí)間分別為t1≤t2≤?≤tr≤S,則(t1t2?tr)的聯(lián)合條件密度為r-Ksf3(t1t2?tr?K)=n!?(n-r)!Ke3(K>0)(114)r其中s3=∑ti+(n-r)S.i=1引理4M42(n,有,S),則(t1?tr)的聯(lián)合條件密度為r-Ksf4(t1t2?tr?K)=(nK)e4(K>0),(115)其中s4=nS.以上引理的證明見文[2].定理1設(shè)總體服從指數(shù)分布,參數(shù)K的先驗(yàn)分布為"(a,b,K)分布,則在試驗(yàn)M1下(é)若損失

4、函數(shù)為平方損失,則K的Bayes估計(jì)為?1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.第4期　　　　　　　湯勝道:截尾試驗(yàn)下指數(shù)分布的貝葉斯估計(jì)127b-1b-1Ka+r+k+1∑(-1)#(a+r+k+1)?s1uk=0kK1==b-1.b-1k#(a+r+k)∑(-1)(a+r+k)k=0ks1uu-2lu2(ê)若取損失函數(shù)為L(zhǎng)(K1,K)=K1K(K1-K)(-∞0,則K的Bayes估計(jì)為b-1b-1ka+r+l+k+2∑(-1)·#(a+r+l+k+2)?s1uk=

5、0kK1=b-1.b-1k(a+r+l+k+1)a+r+l+k+1∑(-1)#?sk=0k證　由(111),(112)式可知,(t1t2?trK)的聯(lián)合密度函數(shù)為a+r-1b-1-Ksf1(t1t2?trK)=P(K)?f1(t1t2?tr?K)=n!?(n-r)!B(a,b)·K(1-K)e1(K>0).因而(t1t2?tr)的邊際密度函數(shù)為∞∞n!a+r-1b-1-Ksg1(t1t2?tr)=f1(t1t2?trK)dK=K(1-K)e1dK(K>0).∫0(n-r)!B(a,b)∫0b-1b-1b-1kk利用(1-K)=∑(-1)K,得k=0kb-1n!b-1k#(a+r+

6、k)g1(t1t2?tr)=(n-r)!"(a,b)∑(-1)a+r+k.k=0ks1故K的后驗(yàn)分布為f1(t1t2?trK)h1(K?t1t2?tr)=g1(t1t2?tr)a+r-1b-1-KsK(1-K)e1=b-1(K>0).b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1在平方損失下,K的Bayes估計(jì)為∞a+rb-1-Ks∞∫K(1-K)e1dKu0K1=∫Kh1(K?t1?tr)dK=b-10b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1b-1b-1ka+r+k+1∑(-1)#(a+r+k+1)?s1k=0k=b-1.b-1ka+r+k∑(-1)#

7、(a+r+k)?s1k=0kuu-2lu2若取損失函數(shù)L(K1,K)=K1K(K1-K),考慮∞a+r+l-1b-1-Ks∞∫K(1-K)e1dKll0E(K?t1t2?tr)=∫Kh1(K?t1t2?tr)dK=b-10b-1k#(a+r+k)∑(-1)a+r+kk=0ks1b-1b-1ka+r+k+l∑(-1)#(a+r+l+k)?s1k=0k=b-1,b-1ka+r+k∑(-1)#(a+r+k)?s1k=0kuu由L(K1,K)的表達(dá)式可知,估計(jì)K1的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)為:?1995