在極限的教學中談學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)

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1、萬方數(shù)據(jù)24數(shù)學通報2008年第47卷第8期在極限的教學中談學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)胡先富警尊妻質(zhì)粵!!甓缺鬯戛要呈甓部分：襄簍專警以直接移人到根號內(nèi)；如果z

2、一’。：???一一．．z(~／z2+1—2x)(~／z2+1+2x)llITI—————————————————=二二二==■———————一’”‘1—3x‘八√z‘十l十Zz)2hin—_======——一2hIn～一。正2+1+2x一。1以而+2一lim!：土一”√1+芻+23．』巴亡≥(歸盯～2x)．一li—m。．一x孬(√而一2x)兩種情況分別討論，從而得出堅r南(~／≯了丁一2z)不存在．以下兩題是極限單元檢測題1選擇題lira』盟為()．萬方數(shù)據(jù)2008年第47卷第8期數(shù)學通報25A．1B．一1C．0D．不存在有81％的學生選擇A，選擇正確答案D的

3、只有10％．與例1的解法類似，分：生巴』孚=1與lim』丑：一1兩種情況討論，結(jié)論是不存在．2選擇題lim2南為()．A．不存在但可以表示為。。B．1一C．不存在D．O選擇A的有83％，選擇正確答案C的僅有8％．剖析學生簡單地認為當z一1時，—≮一o。，2{-i-,一o。，從而選擇A．反映出學生數(shù)學思維的不深刻、不嚴密性．分兩種情況討論，當z一1+時，—l_一+o。，此時lim2吉=+∞；P1+當z一1一時，÷一一o。，此時lim2者一0．，．r-'*-1一因此，lim2壽不存在．從檢測結(jié)果的分析中可以看到，一方面反映出教師的教學引導不力，另一方面反映出學生的

4、思維是比較膚淺的，而且是不慎重、不嚴密的，數(shù)學思考和問題解決中缺乏觀念、方法與技巧，識別模式和組織信息的能力訓練不夠．因此，教學中應當強化學生對自變量變化過程關注，培養(yǎng)學生思維的嚴密性．2增強極限意識培養(yǎng)學生數(shù)學思維的深刻性極限思想是一種重要的數(shù)學思想方法，中學生較多接觸的是有限量，或有限變化過程的量的問題，形成了思維定勢，即使學習了極限概念，極限意識仍然淡薄，極限思想難以應用，因此，教學中教師要有意識地強化學生的極限意識．對中學數(shù)列極限定義中的“a。無限地趨近于a”進行定量化刻畫，使學生深刻領悟“無限逼近”這個重要思想方法．“a。無限地趨近于a”是一種描述性

5、的語言，雖然通俗易懂，但是根本的弱點在于沒有定量化，不能作為科學論證的理論基礎．下面是定量刻畫“a。無限地趨近于a”的數(shù)學語言的講授策略，即“等價轉(zhuǎn)化”法．a(chǎn)。無限地趨近于ae凈日，與a的距離無限地小車凈la。一口l無限地趨近于零車凈}a。一口J可以任意小(要多小就有多小)仁凈任意給定一個(可以任意小)￡>0，Ia。一口f<￡都成立(對任意小進行量化刻畫)．但對于已經(jīng)給定的e>0，la。一al<．e成立，并不是對數(shù)列的任何一項都成立，而是在項數(shù)竹的無限增大過程中，總存在某一項aN，從第N項以后，即當咒>N時，fa?！玜I

6、加以輔助說明)．車亨對任意給定(可以任意小)的e>-0，總存在正整數(shù)N，當，z>N時，In。一al<￡成立，稱數(shù)列(a。)當"一。。時以a為極限，記作lima。一a，即fr+∞數(shù)列極限的“￡一N”定義．’這種講授策略降低了定義的抽象性與形式化性，富有啟發(fā)性、漸近性，符合學生的認知特點，也深化了學生的極限意識．進一步指出：第一，正數(shù)￡用于定量刻畫口。與極限值a的接近程度，￡越小，a。與a越接近，￡無限地小，a。與a無限地接近．￡是任意給定的，具有雙重屬性，e是事前為了反映要求接近的程度任意給的，具有任意性，但一旦給定以后，就是確定的一個正數(shù)，具有確定性．第二，N

7、是隨著E的變小而變大，即N依賴于e，但N并不是由￡所唯一確定的，一般而言，￡越小，N越大，但N取得更大一些也可以，最重要的是N的存在性．數(shù)列極限的量化定義．是數(shù)列極限的精髓，通過教學深化學生的極限意識．在一次課堂教學實錄中，組織學生討論問題“0．9與1的大小嘲”，回答0．9<1的人數(shù)占到大萬方數(shù)據(jù)26數(shù)學通報2008年第47卷第8期多數(shù)．分析其中的驅(qū)動因素是，學生總是用有限變化的思想方法去分析無限變化過程，只看到表面現(xiàn)象，忽略了無限變化過程中的內(nèi)在規(guī)律，以致得出錯誤的結(jié)果．學生回答：“0．9是一個純小數(shù)，而1是整數(shù)，0．9中小數(shù)點后面再取多少個9(有限變化的思

8、維模式)，它與1總相差那么一點點，所以