問題之解何處來

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1、萬方數(shù)據(jù)2015年第54卷第1期數(shù)學(xué)通報(bào)41問題之解何處來徐章韜陳傳理(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院430079)l引言問題和解是數(shù)學(xué)的重要特征之一．對競賽數(shù)學(xué)而言，問題之解的意義更為突出．問題之解從何而來?在前面的文獻(xiàn)[卜幻中，我們論述了競賽數(shù)學(xué)和常規(guī)教學(xué)的關(guān)系：在吃透了課堂教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上也能產(chǎn)生教學(xué)上的見解，這些見解也能用之于競賽數(shù)學(xué)的問題之解．基于以上實(shí)踐，我們有理由相信，要真正做好競賽數(shù)學(xué)，離不開對課程內(nèi)容的教學(xué)解讀，在做好課程內(nèi)容教學(xué)解讀的基礎(chǔ)之上，能夠理清競賽數(shù)學(xué)的邏輯脈絡(luò)，并產(chǎn)生一些好的問題解決之法．本文以復(fù)數(shù)為例，來談?wù)勆鲜鲋鲝垼?深

2、刻解讀課程內(nèi)容。問題之解此中來關(guān)于復(fù)數(shù)的教育意義，及其教學(xué)解讀在文獻(xiàn)[3-43中有體現(xiàn)．上述見解要形成一個(gè)系統(tǒng)，用以應(yīng)對競賽數(shù)學(xué)的問題還需進(jìn)一步對課程內(nèi)容進(jìn)行深刻的解讀．下面以復(fù)數(shù)課程的教育教學(xué)價(jià)值為線索，闡明問題解決之道來自何處．2．1復(fù)數(shù)之源：方程思想顯威力復(fù)數(shù)源于解三次方程的求根問題，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利用~／一1使無意義的數(shù)變得有意義了，這標(biāo)志著復(fù)數(shù)的產(chǎn)生．[61這就是復(fù)數(shù)的源頭．在進(jìn)行競賽數(shù)學(xué)的教學(xué)時(shí)，要精心選擇習(xí)題反映上述事實(shí)，并用方程的思想和觀點(diǎn)解決之．例1方程z10+(13z～1)10—0有10個(gè)復(fù)根r1，百，r2，萬，r3，萬，r4，百

3、，r5，再，其中巧是ri的三1共軛復(fù)數(shù)，求≥：—三的值．三五，{，t分析與解解析幾何中有一招叫“設(shè)而不求”，這招也可以遷移至此．由z10+(13z一1)10／～、10=o，得(南)2—1，記3，10=一1的十個(gè)復(fù)數(shù)分別是∞：，石(i一1，2，3，4，5)，則再三一∞?；?JZ——1面(i一1，2，3，4，5)，它們都是一次方程，不妨設(shè)兩魯一∞：，則南一面，由此推知t2再與，或百=再蘭．這樣∑上一5×170兩再’或^2兩i可’運(yùn)秤芻焉一bx“u一13y((u：+石)=850．百用這種似拙實(shí)巧的方法還可以順利解決1987年高考復(fù)數(shù)題．設(shè)復(fù)數(shù)2，和z。滿足關(guān)

4、系式2，瓦+Az。+A瓦一o，其中A為不等于。的復(fù)數(shù)．證明：(1)z，+Az。+A1一IA2；㈤鬻一I搿

5、．把z?？醋魑粗浚獬鰜?，代入(1)(2)的兩邊，即可證得．例2設(shè)z是1的7次方根，z≠1，求z+z2+z4的值．分析與解初見此題，我們不知如何解．回想初中，有這樣的習(xí)題：已知z=√2—1，求z3+z+2的值．我們是這樣處理的．由z一√2—1，有(z一1)2=2，即z2—2z一1一O，然后用z2—2z一1除一+z+2，得到z3+z+2=(z+2)(z2—2z一1)+6z+4，然后代人z的值，即可求得．上述做法的精髓是充分利用多項(xiàng)式的性質(zhì)．復(fù)數(shù)源于

6、方程，方程其實(shí)就是多項(xiàng)式，故復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式方程有著千絲萬縷的聯(lián)系，基于此，我們用方程的思想觀點(diǎn)來解此題．令z—z+z2+z4，則z2一z2+z4+z8+2∥+225+226，利用復(fù)數(shù)單位數(shù)根的性質(zhì)有，z2一z+z2+z4+2(z3+z5+26)萬方數(shù)據(jù)42數(shù)學(xué)通報(bào)2015年第54卷第1期一z+2(1+z+z2+23+≯+z5+z6)一2(1+z+22+z4)，1f．整理得，zz+z+2=o，解得z一二與拿坐．厶此題還有其它解法，如用對偶法，令A(yù)一2+z2+z4，B—z3+z5+26，也能解決之．然而，如何要如此用對偶法，上述解法也能給出合理的解釋．上面是

7、解方程，構(gòu)造方程解決問題．根與系數(shù)的關(guān)系，是方程研究的重要內(nèi)容之一，也要精心選擇習(xí)題，反映這個(gè)事實(shí)．例3設(shè)P(z)，Q(z)，R(z)及S(z)都是多項(xiàng)式，且滿足P(z5)+zQ(z5)+z2R(z5)一(一+z3+z2+z+1)s(z)，試證：(z一1)fP(z)．分析與解只要說明P(1)一O即可．方程z5—1一。的根為1，ccJ，cu2，c￡，3，cu4，這里∞是任一5次單位根，故有1+∞+叫2+∞3+∞4一o，同時(shí)，對任意的整數(shù)志，(∞6)5一(叫5)‘．依次將z=叫，cc，2，∞3代入，可得P(1)+c￡，Q(1)+ccJ2R(1)一0，P(1

8、)+叫2Q(1)+∞4R(1)一O，P(1)+叫3Q(1)+叫6R(1)一0．這說明一元二次方程P(1)+Q(1)z+R(1)·z2—0有三個(gè)不同的根∞，叫2，叫3，由多項(xiàng)式相等定理，知P(1)一Q(1)一R(1)一o，故(z一1)lP(z)，同時(shí)也能推得，(z一1)IQ(z)，(z一1)IR(z)，(z一1)

9、S(z)．復(fù)數(shù)既然起源于方程，那么就要精選以復(fù)數(shù)為背景的習(xí)題，在“解方程——構(gòu)造方程——根與系數(shù)的關(guān)系”中充分體現(xiàn)了方程的思想和方法，從而獲得對復(fù)數(shù)之源的充分認(rèn)識(shí)．2．2復(fù)數(shù)之特：多元表征，化虛為實(shí)。由實(shí)探虛復(fù)數(shù)有多種表征法，如復(fù)數(shù)的表示方法有

10、代數(shù)形式，三角形式，指數(shù)形式；在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)還能與向量建立一一對應(yīng)，等等．凡此種種，都在于“