修正TIMOSHEKO懸臂梁的自由振動分析

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1、第l2卷第1期廣州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vo1．12No．12013伍2月JournalofGuangzhouUniversity(NaturalScienceEdition)Feb．2Ol3文章編號：1671—4229(2013)01-0058~4修正TIMOSHEKO懸臂梁的自由振動分析葉茂，任珉(廣州大學(xué)廣州大學(xué)一淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心，廣東廣州510006)摘要：基于考慮剪切變形所引起轉(zhuǎn)動慣量的TIMOSHEKO梁，系統(tǒng)地給出了懸臂梁自由振動的分析方法，并驗(yàn)證了分析方法的正確性，給出了數(shù)值算例．關(guān)鍵詞

2、：鐵木辛柯梁；懸臂梁；自由振動中圖分類號：TU311．3；U441．3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A從18世紀(jì)開始，針對梁橫向振動，許多研究p，=AGK(OU一)+E12)者提出了一系列理論?，從最初的BERNOULLI—EULER梁理論，到考慮轉(zhuǎn)動慣量的RAYLEIGH理式中，U梁撓度(由彎曲引起的撓度和剪切引起的論，然而，對于深梁，剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量均不可撓度組成)；為截面轉(zhuǎn)角(是由彎曲變形引起的以忽略，于是有學(xué)者又提出了經(jīng)典的TIMOSHEKO中心軸的轉(zhuǎn)角)；P為梁材料的密度，G為剪切彈梁理論．大量學(xué)者對各種梁的自由振動開展了性模量，

3、E為彈性模量，K為截面系數(shù)，4為梁橫截廣泛的研究叫．但是，經(jīng)典的TIMOSHEKO梁理面面積，，為梁截面對中心軸的慣性矩．論沒有考慮剪切變形所引起的轉(zhuǎn)動慣量，會造成設(shè)：：t：，手，“(，丁)：爭，咖(，)：運(yùn)動方程中多了一個(gè)關(guān)于時(shí)間的四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，如ANDERSON所說就自然產(chǎn)生了第二個(gè)頻譜，導(dǎo)(，)，：z√，再引入無量綱常數(shù)：=，致經(jīng)典TIMOSHEKO梁出現(xiàn)兩個(gè)波速、兩個(gè)群速盧=A_GK212度，而實(shí)際上第二頻譜是沒有任何物理意義=，，f為懸臂梁長度，式(1)可轉(zhuǎn)化的．為此，同濟(jì)大學(xué)陳镕教授給出了考慮剪為下列無量綱的偏微分

4、方程：切變形引起轉(zhuǎn)動慣量的TIMOSHEKO梁運(yùn)動方程，分析表明，考慮了梁剪切變形引起的轉(zhuǎn)動慣量3r‘=a‘一a(2a)后，時(shí)間的四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)會消失，導(dǎo)致第二頻譜也就¨l+：一自然不存在了．本文就是以考慮剪切變形引起轉(zhuǎn)d毛dTd毛d動慣量的TIMOSHEKO梁運(yùn)動方程為基礎(chǔ)，系統(tǒng)西(，r)(2b)地給出了懸臂梁自由振動的分析方法，并驗(yàn)證了分析方法的正確性，最后給出了一個(gè)懸臂梁的數(shù)2自由振動的求解值算例．根據(jù)模態(tài)分析法，設(shè)／Z(，r)=T()()，1修正的TIMOSHEKO梁運(yùn)動方程(，)=T()()，式(2)的模態(tài)分析可轉(zhuǎn)化為

5、下列方程的特征值問題：常系數(shù)修正TIMOSHEKO梁的運(yùn)動方程包含一五()+()=A五()(3a)兩個(gè)偏微分方程：l-o一()一五()+()=A面()fpA32U?*1~K2，~＼102U一))(3b)收稿日期：2012—10—09；修回日期：2012一l0—3O基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51208125，51178126)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目($201104000020)作者簡介：葉茂(1982一)，男，助理研究員，博士．E—mail：yemao@gzhu．edu．en第1期葉茂等：修正TIMOSHEKO

6、懸臂梁的自由振動分析59式中，A大于零，其中(r)=一AT(r)．此，柒G，c())(14)的自振頻率：~-~／r將式(13)和式(14)代入式(12)，可得設(shè)=，警=，則式(3)可轉(zhuǎn)化為下列一階a：0(15)線性微分方程組：一：妒(L4a)(1)=o)業(yè)df=(4b)將式(9)、式(10)分別代人式(11)、式(15)和吉f16、可，導(dǎo)df=一A5+(4c)(17)d=7~一y(A+)(4d)式中，d1=(A+)cosh(／~)一(A一)cos()，一階線性微分方程組(4)的系數(shù)矩陣特征方d2：(A+)sinh(／．e)+

7、壘sin()，程如下：m+mA(1+)一aAy=O(5)式中，m表示特征方程的特征值．d3=sin()一告“sinh(／x)，解得特征方程式(5)的根：cos0h~-cosh(2m=一(1+y)[1±](6)如果式(17)的矩陣系數(shù)不等于零，A是特征式中'△=l+，且△>l，得到特征方程式值的充分必要條件：dld4一d2d3=0(18)(5)的4個(gè)根如下：求解式(18)，即可得到特征值A(chǔ)，從而可獲得m=±,@-~--A(1+)[一13=±(7)梁的自振頻率．本文采用數(shù)值方法求解A．m=±．／1A(1+)[1+]=±(8)根據(jù)

8、式(7)和式(8)中給出的4個(gè)根，可解得其對應(yīng)的特征向量，即可求得方程(3)的通解：圖1懸臂梁面=cosh()+sinh()B+COS()C+Fig．1Cantileversin()D(9)=Sinh(cosh(4數(shù)值算例Sin(of)c一cos()。f10)為驗(yàn)證分析方法的正確性，采用文