靜態(tài)場中的邊值問題

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1、第四章靜態(tài)場中的邊值問題解邊界值問題的方法：1、理論計算方法◆解析法◆近似計算法數(shù)值計算法圖解法2、場的實驗研究方法：◆直接測量法◆電模擬法4.1問題的分類一、分布型問題(1)已知場源分布，求解電場或磁場。(2)已知電場（或電位）、磁場分布，反推場源。二、邊值型問題邊值型問題究竟是什么？邊值型問題都有哪些類型？怎樣保證邊值型問題有且僅有惟一解？（惟一性定理）靜態(tài)場邊值型問題：已知場量（或其位函數(shù)）在場域邊界上的值（含法向導數(shù)），求解場域內部任一點的場量。定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。銜接條件：在場域內，媒質參數(shù)必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質的分界

2、面）或漸變（是空間坐標的函數(shù)）。在不同媒質分界面的兩側，場量（或其位函數(shù)）應滿足邊值關系，在偏微分方程定解問題中常被稱為銜接條件。靜態(tài)場邊值問題解滿足3個條件：(1)對于場域的內點（既非邊界點又不在媒質分界面上的點）泛定方程成立；(2)在不同媒質分界面的兩側，場量（或位函數(shù)）邊值關系（銜接條件）成立；(3)對于場域的邊界點，場量（或其位函數(shù)）符合給定的邊界條件。邊值型問題的分類方法（以電位函數(shù)的泊松方程為例）第一類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位。為狄里赫利問題（Dirichlet）。第二類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位的法向導數(shù)。稱為諾埃曼問題(

3、Neumann)。第三類邊值問題的特征是：已知部分邊界上任一點的電位和另一部分邊界上任一點的電位的法向導數(shù)。稱為混合邊值問題(Robbin)。4.2惟一性定理惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一【反證法】假如存在兩個滿足相同邊界條件的不同解和令在場域內，u滿足拉普拉斯方程在邊界上，要么（第一類邊值問題），要么（第二類邊值問題）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即因為，并且u（或u的法向導數(shù)）沿處處等于0，上式簡化為即u梯度等于0。故在場域內，u=常數(shù)。對于第一類邊值型問題，電位不可躍變，故在場域內，u=0，從而。故對于第一類邊值問題，電位的

4、解惟一對于第二類邊值型問題，u未必是0，可以是任一常數(shù)，但對于電場強度和電位移矢量來說，解仍然是惟一的，因為常數(shù)的梯度恒等于0。說明：①第一、二、三類邊值問題是適定的因為它們對邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。求解時先判斷問題的邊界條件是否足夠，當滿足必要條件時，則可斷定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等價的。②定理說明：只要能夠找一個滿足邊界條件的位函數(shù)，且這個位函數(shù)又滿足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。4.2直角坐標中的分離變量法◆分離變量法：通過偏微分方程求解邊值問題。◆基本思想：1.要求給定邊界與一個適當坐標系的坐標面相合，或者至少分段地與坐標

5、面相合；2.在坐標系中，待求偏微分方程的解可表示為三個函數(shù)的乘積，其中的每個函數(shù)分別僅是一個坐標的函數(shù)。3.通過分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解?！舳S問題的分離變量過程：若邊界面形狀適合用直角坐標表示，則在直角坐標系中求解，以二維的拉普拉斯方程為例，求解電位函數(shù)，設，電位函數(shù)滿足（4-1）待求的電位函數(shù)用二個函數(shù)的乘積表示為（4-2）將式（4-2）代入式（4-1），得用除上式，得（4-3）上式成立的唯一條件是二項中每項都是常數(shù)，故有（4-4）（4-5）為分離常數(shù)，是待定的常數(shù)，須滿足（4-6）1.當時方程（4-4）和(4-5)的解為方程（4-1）的解為(4-7)

6、2.當,時,方程（4-5）和(4-6)的解為(4-8)(4-9a）或所以(4-10a)或(4-10b)3.當,時，同理可得（4-11a）（4-11b）綜上所述：a：當時，偏微分方程（4-1）的通解為(4-12a）或（4-12b）b.當時，偏微分方程（4-1）的通解為（4-13a）或（4-13b）拉普拉斯方程的解：然后根據所給定的邊界條件定出滿足所有邊界條件的具體問題的解（包括待定常數(shù)和分離常數(shù)）。4.3圓柱坐標系中的分離變量法對二維平面場，即與無關的情形，拉普拉斯方程變?yōu)椋?-25）設解具有，代入上式化簡（4-26）要上式對所有的r、值成立，須每項都等于常數(shù)。令第一項等

7、于（），得（4-27）（4-28）1.當時，（4-27）的解為2.當時，（4-27）的解為如果所討論的空間包含從0→2，因為必須是單值的，即，（4-29）（4-28）式變?yōu)椋?-30）即（4-31）式（4-31）為歐拉方程，場與無關。1.當時，（4-31）式的解為2.當時，（4-31）式的解為（4-32）圓柱坐標中二維場的的通解（4-33）由于（K為整數(shù)），所以（4-33）式中的4.4球坐標系中的分離變量法討論場問題與坐標無關時：與坐標無關的拉普拉斯方程為（4-47）令，代入上式得得到關于和的常微分方程：（4-48）（4-49）引入一個新