EMF14靜態(tài)場邊值問題

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1、第14講靜態(tài)場邊值問題授課內(nèi)容唯一性定理鏡像法靜態(tài)場：靜電場、恒定電場和恒定磁場等不隨時間變化的場場計算的兩大類問題已知場量分布求與之相應(yīng)的場源分布已知場源分布求該源產(chǎn)生的場量分布1靜態(tài)場邊值問題的基本概念靜態(tài)場計算方法在工程上常遇場源分布常較復(fù)雜，而且場域往往是由某種邊界條件限制的、形狀不一定規(guī)則的有限區(qū)域。為此，在場論中引入了輔助計算量—位函數(shù)。?內(nèi)已知?外未知邊界場已知數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界

2、值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解場域的場（一定邊界條件下微分方程的解）的問題，稱為邊值問題。邊值問題邊值問題求解方法AnalysisofBoundary-ValueProblems自然邊界條件（無界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如?靜態(tài)場問題可以歸結(jié)為求解滿足三類邊值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所謂邊值問題，它們分別稱為狄里赫利問題，紐曼問題和

3、混合問題。?第一類邊值：已知場域邊界上位函數(shù)?第二類邊值：已知場域邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)（對于靜電場，相當(dāng)于給出了電荷在導(dǎo)體表面的面電荷分布密度。）?第三類邊值：已知場域一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)為什么說靜電場第二類邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布的條件是等價的？?內(nèi)已知例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大

4、的變化。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的?！疚ㄒ恍远ɡ怼咳绻o定V中的電荷分布、邊界S上的電位值或其方向?qū)?shù)值或S中一部分面上給定電位值，其余部分給定電位法向?qū)?shù)值，則V中的電位唯一確定。證明：設(shè)場中任意一點有兩組解，都滿足Possion方程則電位差滿足

5、Laplace方程電位差滿足齊次邊界條件（第一類）（第二類）（第三類）應(yīng)用Green第一定理令：則顯然，在給定三類邊界條件中任何一類的情況下，上式的右邊都為零。左邊第一項也為零，得若為第一類邊界條件，在既滿足場域，又滿足邊界條件的情況下，C＝0。若為第二類邊界條件，當(dāng)選擇相同的電位參考點時，C＝0.對第三類混合邊值問題，只要將閉合面積分寫成各部分表面的面積分之和，對每一部分采用上述的方法處理，結(jié)論相同。唯一性定理給出了定解的充分必要條件，雖然沒有給出具體的求解方法，但對于求解有著重要的指導(dǎo)意義：【唯一

6、性定理的指導(dǎo)意義】一方面，我們在構(gòu)造求解方程時，可以依據(jù)唯一性定理設(shè)置必要的邊界條件；另一方面，如果我們利用某種方法獲得了解，則可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法獲得了不同形式的解，也可以肯定這些解是等價的。2.鏡像法實質(zhì):是以一個或幾個等效電荷（或電流）代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷（或電流）的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜態(tài)場沒有改變，這是確定等效電荷（或電流）的大小及其位置的依

7、據(jù)。這些等效電荷（電流）通常處于鏡像位置（待求場域之外），因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的個數(shù)、大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷（或電流）才有可能確定其鏡像電荷。（1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面。?介質(zhì)導(dǎo)體qrP?介質(zhì)qrPhh?介質(zhì)以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為?的空間，則空間任一點P的電位由q及q'共同產(chǎn)生，即考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（除q所在點外的區(qū)域）（S為

8、包圍q的閉合面）平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除q所在點外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場線等位線z??電荷守恒：當(dāng)點電荷q位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?，上述鏡像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異