近世代數(shù)課件--3.1.加群、環(huán)的定義

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1、§1.加群、環(huán)的定義內(nèi)容提要:1.1加群及符號的轉(zhuǎn)換1.2環(huán)的定義及基本性質(zhì)1.3一批例子重點(diǎn):加群的符號轉(zhuǎn)換引起的運(yùn)算律的不同表達(dá).理解和熟記環(huán)的定義.使用定義驗(yàn)證.1.1加群及符號的轉(zhuǎn)換在環(huán)的定義里要用到加群這個概念。我們先把這個概念說明一下。抽象群的代數(shù)運(yùn)算到現(xiàn)在為止我們都用乘法的符號來表示。但我們知道，一個代數(shù)運(yùn)算用什么符號來表示是沒有關(guān)系的。一個交換群的代數(shù)運(yùn)算，在某種場合之下，用加法的符號來表示為方便。定義一個交換群叫做一個加群，假如我們把這個群的代數(shù)運(yùn)算叫做加法，并且用符號+來表示。一個加群的唯一的單位元我們用0表示，并且把它叫做零元。我們有以下計(jì)算規(guī)則：

2、（1）0＋a=a＋0=a(a是任意元)元a的唯一的逆元我們用來表示-a，并且把它叫做的負(fù)元（簡稱負(fù)),a+(－b)記為a－b.(2)a-a=??(3)-(-a)=??1.1加群及符號的轉(zhuǎn)換1.1加群及符號的轉(zhuǎn)換(4)a+b=cb=a-c(5)–(a+b)=??由于加群的加法適合結(jié)合律，n個元的和有意義，這個和我們有時用符號來表示：1.1加群及符號的轉(zhuǎn)換(m+n)a=??n(a+b)=??n(ma)=??加群的一個非空子集S作成一個子群的充分必要條件是:??1.2環(huán)的定義及基本性質(zhì)定義：一個集合R叫做一個環(huán)，假如1．R是一個加群，換一句話說，R對于一個叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來

3、說作成一個交換群；2．R對于另一個叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說是閉的；3．這個乘法適合結(jié)合律：4.兩個分配律都成立：1.2環(huán)的定義及基本性質(zhì)基本性質(zhì):(7)a(b-c)=??,(b-c)a=??(8)0a=a0=??,這里0是零元素(9)(10)1.2環(huán)的定義及基本性質(zhì)(11)(12)即:1.2環(huán)的定義及基本性質(zhì)(13)這里:n是任何整數(shù)規(guī)定:這里:n是正整數(shù),它有下面的性質(zhì):(14)這里:正整數(shù)m，n1.3一批例子數(shù)集中的環(huán)全矩陣環(huán):它一些子集也可以構(gòu)成環(huán)多項(xiàng)式環(huán):它一些子集也可以構(gòu)成環(huán)剩余類環(huán):