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《近世代數(shù)課件(全)--3-2 環(huán)的定義—思考、解答、結(jié)論》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、近世代數(shù)第三章環(huán)與域§2環(huán)的定義—思考、解答、結(jié)論環(huán)的特征6/14/2021環(huán)、交換環(huán)、有單位元的環(huán)環(huán)：(3)關(guān)于加法構(gòu)成一個交換群;(4)乘法結(jié)合律成立;乘法滿足交換律的環(huán).存在元素,使得(2)兩個代數(shù)運(yùn)算“+”與“.”;(1)非空集合;(5)乘法對加法兩個分配律成立.交換環(huán)：有單位元的環(huán)：6/14/2021思考題1、21．構(gòu)成環(huán)嗎？答：構(gòu)成環(huán)，零元=單位元=e.是交換環(huán)、有單位元環(huán)，2．有單位元的環(huán)答：有且只有一個嗎？注：我們只討論單位元的環(huán)，即6/14/2021思考題3、結(jié)論1性質(zhì)在一個無零因子環(huán)中,乘法兩個是左零因子，存在，若，則
2、，可以是，即可以不同.（任何環(huán)加法都有消去律）消去律成立.3．有零因子的環(huán)中，乘法有消去律嗎？答：沒有.若結(jié)論1：環(huán)是無零因子環(huán)乘法適合消去律.6/14/2021思考題4、結(jié)論2除環(huán)：有單位元環(huán),且（，每個非零元都可逆.的零因子一定不是環(huán)的可逆元.你認(rèn)為他的論斷對嗎?為什么?結(jié)論2：可逆元一定不是零因子，）4．有人說:一個環(huán)答：對.零因子一定不是可逆元；除環(huán)是無零因子環(huán).6/14/2021思考題5、6結(jié)論35．除環(huán)的非零元對于乘法構(gòu)成群嗎？關(guān)于加法構(gòu)成交換群，所有非一定構(gòu)成除環(huán)，則是除環(huán)所有非零元關(guān)于乘法構(gòu)成乘群.答：構(gòu)成.兩個非零元的乘
3、積是非零元，結(jié)合律成立，有單位元，每個非零元有逆元.6．若零元關(guān)于乘法構(gòu)成乘群，問答：不一定.分配律未必保證.嗎？結(jié)論3：環(huán)6/14/2021結(jié)論4結(jié)論4：有單位元環(huán)的全體可逆元關(guān)于乘法做成群，稱可逆元為單位，稱此群為單位群.整數(shù)環(huán)的單位群：高斯整環(huán)的單位群：{1，-1}{1，-1，i，-i}6/14/2021思考題7、8結(jié)論57．有n(>=2)個元的有限無零因子環(huán)是8．無限無零因子環(huán)一定是除環(huán)嗎？除環(huán)嗎？答：是，無零因子環(huán)乘法有消去律，有限半群做成群有消去律，故非零元構(gòu)成乘群.答：不一定，整數(shù)環(huán)是無限無零因子環(huán)，結(jié)論5：有限無零因子環(huán)是
4、除環(huán)，但不是除環(huán).無限無零因子環(huán)不一定是除環(huán).6/14/2021結(jié)論6域：交換的除環(huán)結(jié)論6：域是環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、整環(huán)、除環(huán).6/14/2021環(huán)的特征定義：若環(huán)的元素對加法有最大階n，則稱n為環(huán)的特征；若環(huán)的元素對加法沒有最大階，則稱環(huán)的特征是無限（或零）.記作charR.定理1：有限環(huán)的特征是有限.(因為有限群的階有限，所以最大階有限)6/14/2021定理2：無零因子環(huán)中任意非零元對加法的階相同.證明：若都無限，階相同.6/14/2021定理3：無零因子環(huán)的特征或者無限，或者為素數(shù).證明：（反證法）設(shè)有限且為合數(shù)與無零因子環(huán)矛
5、盾，故假設(shè)不成立.無零因子環(huán)的特征或者無限，或者為素數(shù).6/14/2021定理4：若1的階無限，則特征無限；,有有單位元的環(huán)，單位元在加群中的階就是環(huán)的特征.證明：若1的階是n,則6/14/2021
