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《郭健：從古典幾何到現(xiàn)代幾何》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、從古典幾何到現(xiàn)代幾何天津師范大學數(shù)學科學學院主講人：郭健前言幾何學源遠流長，文獻豐富。在長達數(shù)千年的人類歷史長河中，幾何史就是數(shù)學史、科學史、人類文明史的一個縮影，從中可以看到人類社會前進的足跡。前言幾何學特色鮮明，多彩多姿。從古希臘時代起，就形成了一套科學的研究方法，嚴密的邏輯體系。兩千多年來，無論是思想觀念的更新，亦是科學理論的創(chuàng)立，幾何學都扮演了開路先鋒的角色。前言幾何學應用廣泛，無處不在。從現(xiàn)代文明的成果看，無論是火箭、衛(wèi)星的研制發(fā)射，還是人類生存空間的保護和改善，無一不用到幾何的知識；再從推動科學的進步看，幾何學的空間直觀引起的直覺思維，構造幾何模型產生
2、的結構觀念，追求嚴密邏輯走出的公理化道路，無一不滲透到數(shù)學乃至科學的各個領域。古典幾何泛指第一流的幾何學家及其相應的幾何著作，包括：歐氏幾何、射影幾何、解析幾何、非歐幾何等多個方面?，F(xiàn)代幾何主要是指微分幾何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加當、陳省身等人發(fā)揚光大。前言一、歐氏幾何和歐氏空間歐幾里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《幾何原本》使幾何學真正成為一門科學。幾何，英文為“Geometry”，是由希臘文演變而來的，其原意為“土地測量”。我國明代徐光啟翻譯《幾何原本》時，將“Geometry”一詞譯為“幾何學”，就是從其音譯而來。1.《幾何原本
3、》介紹《幾何原本》共分十三卷，給出了467個命題，幾乎涵蓋了前人所有的數(shù)學成果。全書精心編排，把命題依照彼此的邏輯關系，從簡單到復雜，將內容按照順序排列起來是歐幾里得最成功的創(chuàng)造。1.《幾何原本》介紹第一卷是全書邏輯推理的基礎，給出了什么是點、線、面等23個定義，5個公理，由此討論三角形全等、邊角關系、垂線、平行線、平行四邊形、多邊形、勾股定理等。1.《幾何原本》介紹五條公設是：（1）從每個點到每個別的點必定可引直線；（2）直線可以無限延長；（3）以任一點為中心，任意長為半徑可以作圓；（4）所有直角都相等；（5）若一直線與兩條直線相交，且同側內角和小于兩直角，則此
4、兩直線必在該側相交。1.《幾何原本》介紹五條公理是：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的東西是相等的；（5）整體大于部分。1.《幾何原本》介紹第二、三、四卷討論線段的計算、直線形和圓的基本性質，共67個命題；第六卷討論相似形，共33個命題；第十一至十三卷討論立體幾何理論，共70幾個命題；其它第五、七、八、九、十卷討論比例和算術理論。歐氏空間后人把歐幾里得建立的幾何理論稱為“歐氏幾何”；成立歐氏幾何的平面稱為“歐氏平面”；成立歐氏幾何的空間稱為“歐氏空間”。公理法歐幾里得在《幾何原本》使用的這種建立理論體系的方
5、法稱為“公理法（原始公理法）”。第Ⅴ公設第Ⅴ公設等價于：過直線外一點只可作一直線平行于已知直線。在《幾何原本》問世的兩千年中，不少人試圖去修正，尤其是第Ⅴ公設，被認為可由其余九條所證出，或用更簡單或更直觀的公理來代替。羅氏幾何俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能證明第Ⅴ公設，他企圖通過否定第Ⅴ公設的等價命題來引出矛盾。但他推出了一個又一個新奇的結論后仍找不到邏輯上的矛盾，這些新的結論構成了一個不同的幾何體系，后來被稱為羅氏幾何。2.希爾伯特與《幾何基礎》1899年法國數(shù)學家希爾伯特（Hilbert,1862-1943）發(fā)表
6、了著作《幾何基礎》，結束了對歐幾里得給出的理論體系進行修改和完善的工作。他在這部著作中彌補了《幾何原本》中公理系統(tǒng)的不足之處，指出了歐幾里得幾何的一個邏輯上完善的公理系統(tǒng)，由此解決了用公理法研究幾何學的基礎問題。三個基本對象：點、直線、平面三種基本關系：“在……之上”、“在……中間”、“合同于”2.希爾伯特與《幾何基礎》五組公理共20條：第一組關聯(lián)公理，共8條；第二組順序公理，共4條；第三組合同公理，共5條；第四組連續(xù)公理，共2條；第五組平行公理，共1條?，F(xiàn)代公理法：以五組公理為基礎，陸續(xù)定義了一些新的概念和證明一些新的結論（定理），這樣建立起了一個依照邏輯關系，
7、排列順序井然的體系，稱為現(xiàn)代公理法。3.公理系統(tǒng)的三個問題構造一個公理體系并不容易，要求滿足以下條件：（1）無矛盾性：即所有的公理彼此不產生矛盾，也稱相容性；（2）獨立性：即每一條公理都不能由其它公理推出，也就是公理組有最少個數(shù)，不能有多余的；（3）完備性：即已有的公理已足夠了，不能在增加與公理組都相容的新公理。在數(shù)學及其它領域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成歐氏幾何公理系統(tǒng)這樣嚴格的理論體系。一般地，任何一個公理系統(tǒng)必須是相容的，但未必是獨立的，完備性更不是必需的。3.公理系統(tǒng)的三個問題除了歐氏幾何，羅氏幾何與射影幾何的公理系統(tǒng)也具備以上三個條件。任何
8、一個公理體
