有限元方法講義

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1、第1講拋物問題有限元方法1、橢圓問題有限元方法考慮橢圓問題邊值問題：（1）問題（1）的變分形式：求使?jié)M足（2）的性質(zhì)，廣義解的正則性結(jié)果。區(qū)域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分規(guī)則，正則剖分條件，擬一致剖分條件。剖分區(qū)域上分片次多項式構(gòu)成的有限元空間。的逼近性質(zhì)，逆性質(zhì)：這里，為的插值逼近。問題（2）的有限元近似：求使?jié)M足（3）（3）的解唯一存在，且滿足。（3）的解所滿足的矩陣方程（離散方程組）形式：（4）剛度矩陣的由單元剛度矩陣組裝而成。模誤差分析：由（2）－（3）可得31（5）由（5）可首先得到則得到（6）

2、－模誤差分析設滿足用與此方程做內(nèi)積，由（5）式和插值逼近性質(zhì)得到再利用模誤差估計結(jié)果，得到（7）最優(yōu)階誤差估計和超收斂估計概念。當與時間相關(guān)時（為拋物問題準備），由（5）式得（8）利用（7），類似分析可得（9）2、拋物問題半離散有限元方法考慮拋物型方程初邊值問題：（10）（10）的變分形式：求使?jié)M足（11）31（11）的半離散有限元近似：求使?jié)M足（12）令，代入（12），依次取可導出常微分方程組：（13）其中為質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣。。求解常微分方程組（13），得到代回的表達式，即得半離散有限元解。定理1.問

3、題（12）的解唯一存在且滿足穩(wěn)定性估計：（14）證明：在（12）中取得到整理為（注意是正定的）對此式積分，證畢。誤差分析。引進解的橢圓投影逼近：滿足（15）根據(jù)橢圓問題的有限元結(jié)果可知（16）分解誤差：的估計由（16）式給出，只須估計。由（11），（12）和（15）知，滿足取，類似穩(wěn)定性論證可得31（17）可取為的投影，插值逼近等。由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、拋物問題全離散有限元近似剖分時間區(qū)間：。引進差分算子：規(guī)定，當為連續(xù)函數(shù)時，，則有由此得到（19）（20）定義問題（11）的全離

4、散向后Euler有限元近似：求，使?jié)M足（21）將代入（21）可導出全離散方程組（22）其中。系數(shù)矩陣是對稱正定的?？芍饘忧蠼?。誤差分析。令。為31的有限元橢圓投影，只須估計。由方程（11）知滿足（23）。則利用，從（23）和（21）得到滿足取得到或?qū)憺閷憣ι鲜角蠛颓依茫?9）式得利用橢圓投影的逼近性質(zhì)得到再利用三角不等式即得全離散誤差估計（24）全離散向后Euler格式關(guān)于時間方向只有一階精度。二階精度的Crank-Nicolson格式：求使?jié)M足（25）其中。方程（25）的矩陣方程形式為31處，從方程（11

5、）知，精確解滿足。則橢圓投影滿足分解誤差：。從（25）式得到（26）在（26）中取，注意（27）則在（26）中取得到求和，且利用（20），（27）和橢圓投影的逼近性質(zhì)，得到再利用三角不等式，得Crank-Nicolson格式的誤差估計：（28）31第2講有限體積元方法一、橢圓問題考慮橢圓邊值問題：設為凸多邊形區(qū)域。當時，唯一存在，且滿足。1剖分與對偶剖分設是的一個正則三角剖分，是所有剖分節(jié)點集合，是內(nèi)節(jié)點集合，對每一個做包含的有限體積（見圖1）其中是單元的重心，是單元邊的中點，所有有限體積單元構(gòu)成區(qū)域的一個剖

6、分，稱為的對偶剖分，記為，則圖12有限體積元空間設是上分片線性多項式構(gòu)成的有限元空間，在對偶剖分上，定義分片常數(shù)的有限體積元空間：設是分片線性基函數(shù)，是的特征函數(shù)，則313插值算子定義插值算子：顯然因此，對任意存在唯一使，即4雙線性形式由，則定義與相應雙線性形式：5問題的有限體積元近似求使（1）由于，則（1）等價于則有誤差方程(2)6插值算子的性質(zhì)i)ii)(3)iii)(4)守恒性質(zhì):在(1)中取,得到7解的存在唯一性31引理1設，則證明：利用Green公式和（3）式，注意為常數(shù)，得到定理1有限體積元解唯一

7、存在，且滿足證明：由引理1，方程（1）和（4）式知滿足3－模誤差分析定理2和滿足誤差估計證明：利用引理1得到利用柯西不等式，定理2得證。4－模誤差分析定理3和滿足誤差估計：31證明：設滿足則利用引理1和（3）式得其中，是的分片常數(shù)逼近。則利用逼近性質(zhì)得到證畢。一、拋物問題（5）其中為凸多邊形區(qū)域。設區(qū)域剖分和對偶剖分，有限體積元空間和如橢圓問題情形。拋物問題（5）的有限體積元近似為：求使?jié)M足（6）其中雙線性形式如橢圓問題。引理2下述結(jié)論成立i)ii)是上與等價的范數(shù)。由引理2可知，導出的質(zhì)量矩陣是對稱正定的，

8、則常微分方程組（6）唯一可解。由引理1也知道由31導出的剛度矩陣也是對稱正定的，這可保證全離散格式的唯一可解。誤差分析設為問題（6）的解，引進的有限體積元投影：滿足（7）對（7）關(guān)于求導得到（8）則利用橢圓問題有限體積元的結(jié)論可得（注意）（9）（10）分解誤差：的估計已知，只須估計。由方程（5）－（7）可知，滿足取，利用引理1－2得到由（4）式和引理2知，則從上式得到或則利用三角不等式和（10）式得