有限元法講義

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1、有限單元法圖3-1簡單的梁和桁架結(jié)構(gòu)現(xiàn)考慮對圖3-1中結(jié)構(gòu)的分析。在位移分析法中我們是把該結(jié)構(gòu)看成是兩個(gè)梁單元、一個(gè)桁架單元和一個(gè)彈簧單元的分割體，第一步是計(jì)算對應(yīng)于結(jié)構(gòu)總體自由度的單元?jiǎng)偠染仃?。在這種情況下，對于梁單元、彈簧單元和桁架單元，我們分別有；；；；28整個(gè)分割體的剛度矩陣可以由各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^直接剛度法有效地求得。在這個(gè)過程中，結(jié)構(gòu)剛度矩陣K是通過各單元?jiǎng)偠染仃囍苯酉嗉佣愕?，即而系統(tǒng)的平衡方程為式中是系統(tǒng)的總體位移向量，R是作用在結(jié)構(gòu)總體位移方向上的外力向量：，在求解結(jié)構(gòu)的位移之前，我們需要利用邊界條件和。這

2、意味著我們可以只考慮含有五個(gè)未知位移的五個(gè)方程，即，式中是從K中刪去第一和第七行以及第一和第七列后得到的，而，上面的討論說明了有限元法的一些重要特點(diǎn)．基本的處理過程是先把整個(gè)結(jié)構(gòu)看成為各個(gè)結(jié)構(gòu)單元的分割體，計(jì)算對應(yīng)于結(jié)構(gòu)分割體總體自由度的各單元?jiǎng)偠染仃?，然后通過將各單元?jiǎng)偠染仃嚡B加的方法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，求解單元分割體的平衡方程組就得到單元的位移，然后利用它們來計(jì)算單元的應(yīng)力。雖然原來并不認(rèn)為用位移法分析梁和衍架單元的分割體就是有限元分析，但以后我們將會看到，實(shí)際上我們可以把桁架和梁單元看作兩種特殊的有限元。在這個(gè)定義上，上述

3、的分析就是梁和衍架結(jié)構(gòu)的有限元分析。而用另一種方法，我們可不通過求解平衡微分方程，而是用虛功原理計(jì)算其剛度系數(shù)。導(dǎo)出表示彈性體平衡的相應(yīng)方程的一個(gè)等效方法是利用虛位移原理，這個(gè)原理表示物體處于平衡的要求是：對于強(qiáng)加在該物體上的任意相容的微小的虛位移，總的內(nèi)虛功應(yīng)等于總的外虛功，即（3.1）式中，，（3.2）是作用在彈性體上的體力、表面力和集中力。從未受荷載時(shí)的位置開始的彈性體的位移以表示，其中（3.3）28相應(yīng)于的應(yīng)變?yōu)椋?.4）相應(yīng)的應(yīng)力為（3.5）和表示虛應(yīng)變和虛位移。分析的基本步驟和上述桁架和梁結(jié)構(gòu)的分析步驟一樣。圖3-

4、2有限元平面分析該問題的求解可按下列的步驟進(jìn)行：(1)假設(shè)每一單元節(jié)點(diǎn)i的兩個(gè)未知位移為和，而和用簡單多項(xiàng)式函數(shù)來表示，其中的末知參數(shù)是單元節(jié)點(diǎn)位移。對于圖3-3中的單元，未知位移是。(2)利用虛位移原理計(jì)算每個(gè)單元對應(yīng)于節(jié)點(diǎn)自由度的剛度矩陣。(3)將各單元?jiǎng)偠染仃嚡B加得到結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，利用邊界條件解平衡方程組求出節(jié)點(diǎn)位移，然后算出單元的應(yīng)力。圖3-3局部坐標(biāo)系統(tǒng)中典型的二維四節(jié)點(diǎn)有限元283.1利用虛位移原理建立有限元法的公式（一）平面應(yīng)力分析的位移和應(yīng)變－位移的變換矩陣為了便于說明，再考慮一個(gè)平面內(nèi)荷載作用下懸臂板分析的

5、例子(圖3-2)。該結(jié)構(gòu)是處于平面應(yīng)力的狀態(tài)，因此可以將平桓理想化為二維平面應(yīng)力有限元的分割體，如圖3-2所示。所需要的基本矩陣是對于分割體的每個(gè)單元的位移變換矩陣和應(yīng)變-位移變換矩陣。為了推導(dǎo)這些矩陣，我們著重研究如圖3-3所示的典型單元，并假設(shè)局部單元位移和是以局部坐標(biāo)變量和的多項(xiàng)式的形式給出：（3.6）（3.7）未知系數(shù)也稱為廣義坐標(biāo)，它們可以用未知的單元節(jié)點(diǎn)位移和來表示。定義（3.8）我們可以把式（3.6）和（3.7）寫成矩陣形式（3.9）其中（3.10）（3.11）（3.12）對于單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，方程(3.9)都一定

6、是成立的。因此，對于所有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，利用式(3.9)，我們有（3.13）其中（3.14）28因而廣義坐標(biāo)是（3.15）其中（3.16）將式（3.9）代入，可以得到（3.17）其中（3.18）我們用虛功原理來得到單元?jiǎng)偠染仃?。若是平面?yīng)力狀態(tài)，單元應(yīng)變?yōu)椋?.19）其中（3.20）利用式（3.17），我們得（3.21）式中（3.22）（3.23）單元應(yīng)力是（3.24）假定是各向同性的線彈性材料，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，有（3.25）其中（3.26）28而和是材料的彈性常數(shù)，為楊氏模量，為泊松比。要進(jìn)行實(shí)際的有限元分析，就需要求出式(3.

7、18)和式(3.22)中分別給出的分割體中每個(gè)單元的位移和應(yīng)變-位移的變換矩陣，而算出每個(gè)單元的矩陣A，才能求出這些矩陣。至今，我們所考慮的是通過單元局部節(jié)點(diǎn)位移來決定的每個(gè)有限元的位移。然而，在推導(dǎo)整個(gè)單元分割體的平衡方程的時(shí)候，通過整個(gè)單元分割體節(jié)點(diǎn)位移來表示單元的位移是方便的，即對單元m可寫出（3.27）而對于單元應(yīng)變和應(yīng)力類似地可寫成（3.28）（3.29）式(3.27)至式(3.29)中的量與向量有關(guān)，而存儲整個(gè)有限元分割體的總體坐標(biāo)系下的全部節(jié)點(diǎn)位移。作為一個(gè)例子，考慮，即確定圖3.2中懸臂板理想化后的單元2上位移

8、矩陣。利用圖3.2給出的整個(gè)單元分割體和圖3.3給出的單元的節(jié)點(diǎn)位移的定義，我們有（3.30）式中是式（3.17）中考慮單元2時(shí)對應(yīng)的單元。3.1建立有限元步驟歸納有限元法與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法相似。首先將連續(xù)體轉(zhuǎn)化為離散化結(jié)構(gòu)，即將連續(xù)體代之以僅在節(jié)點(diǎn)互相連結(jié)的許多單元組成的