概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第13講

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1、第四章.數(shù)學(xué)期望和方差分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)較難確定，而它的一些數(shù)字特征較易確定．并且在很多實(shí)際問(wèn)題中，只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征也就夠了.另一方面，對(duì)于一些常用的重要分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布。1隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——方差描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容2引例:測(cè)量50個(gè)圓柱形零件直徑（見(jiàn)下

2、表）則這50個(gè)零件的平均直徑為尺寸（cm）89101112數(shù)量（個(gè)）8715101050§4.1數(shù)學(xué)期望3換個(gè)角度看，從這50個(gè)零件中任取一個(gè)，它的尺寸為隨機(jī)變量X,則X的概率分布為XP89101112則這50個(gè)零件的平均直徑為稱之為這5個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均，數(shù)學(xué)期望的概念源于此.4定義1.1：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X)。數(shù)學(xué)期望的定義5常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(1)0－1分布這時(shí)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故E(

3、X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.6(3)泊松分布X的所有可能取值為0,1,2,…,且7(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.注:在第三個(gè)等號(hào)中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得到。8例1.對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到

4、廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù)。解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,n，且9例1.（續(xù)）10定義1.2：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為　　，若積分絕對(duì)收斂，則稱此積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X)。注意：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是加權(quán)平均數(shù)，它是一個(gè)數(shù)，不再是隨機(jī)變量。11(5)指數(shù)分布E(?)隨機(jī)變量X的密度為：常見(jiàn)連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望12定理1.1.設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限，概率密度f(wàn)(x)關(guān)于對(duì)稱，f(+x)=f(-x)。則E(X)=。證明：令g(t

5、)＝tf(t+)，由g(-t)＝-g(-t)知g(t)是奇函數(shù)。于是，推論1.2.若X～N()，則E(X)=。若X～U(a,b),則E(X)＝(a+b)/2。13例2.設(shè)X的概率密度為：求E(X)。解:注:由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0。14注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在注：雖然f(x)是偶函數(shù)，但不能用定理1.1。15設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說(shuō)g(X)

6、的數(shù)學(xué)期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？更一般的，已知隨機(jī)向量(X1,X2…,Xn)的聯(lián)合分布，Y=g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函數(shù),需要計(jì)算Y的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計(jì)算呢？我們下面就來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題?！?.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)16A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X=(X1,…,Xn)為離散型隨機(jī)向量，概率分布為Z=g(X1,…,Xn),若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則17隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）設(shè)X=(X1,…,Xn)為連續(xù)型隨機(jī)向量，聯(lián)合密度函數(shù)為Z=g(X1,…,Xn),若積分絕對(duì)收斂，則18例3.設(shè)

7、離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望.X0?11E(Z)=g(0)?0.5+g(-1)?0.25+g(1)?0.25解:=0.5注：這里的19例4.設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25+g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125解:=4.25注：這里的20例5.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),Y=eaX,求E(Y)。解:21例6.設(shè)X~U[0,?],Y=sinX,求E(Y)

8、。解:X的概率密度為所以22例7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解:23數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例7.（續(xù)）24數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)注意：X,Y相互獨(dú)立例7.（續(xù)）25例7.（續(xù)）26例8.假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(?,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤(rùn)T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?為何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？27解：則由數(shù)學(xué)期望定義知：例8.（續(xù)）28即：可以驗(yàn)證，零件