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《近世代數(shù)課件(全)--3-4 理想與商環(huán)new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、近世代數(shù)第三章環(huán)與域§4理想、商環(huán)8/3/2021一、理想的定義與判別定義1設(shè)為環(huán),為的非空子集.滿足:則稱的一個(gè)理想.如果為●由定義可知,理想一定是子環(huán).與本身都是理想稱為平凡理想（零理想與單位理想）.的理想.這兩個(gè)●吸收律子群8/3/2021的不等于它自身的理想(如果有的話)的真理想.除環(huán)只有零理想與單位理想.●●稱為8/3/2021例1試求的所有理想.的全部子群為：為的理想.的全部理想為解由此知,8/3/2021二、理想的運(yùn)算定義2設(shè)為環(huán),為的理想.分別稱為理想的和與交.集合定理1環(huán)的兩個(gè)理想的和與交都是的理想.8/3/2
2、021證明(1)是的理想.（2）是的理想.8/3/2021定理2環(huán)的任意有限多個(gè)理想的和(因?yàn)?.還是理想.的任意多個(gè)理想的交還是理想.設(shè)為環(huán),.令∑是的所有包含的理想所組成的集合環(huán)8/3/2021定義4設(shè)為環(huán),,稱環(huán)中所有的理想的交為由生成的主理想,,即包含記作是中包含的最小理想.8/3/2021定理3設(shè)為有單位元的交換環(huán),,則證明定理4整數(shù)環(huán)的每個(gè)理想都是主理想.8/3/2021定義5設(shè)為環(huán),,則為的理想,稱為生成的理想,記作由8/3/2021例2在中,如果,則是怎樣都是零,則解(1)如果的主理想?(2)如果不全為零.設(shè)為的
3、最大公因數(shù),則存在,使得,從而又因都是的倍數(shù),即,所以從而8/3/2021例3在高斯整環(huán)中,理想解由哪些元素組成?為偶數(shù)，在中無解，為奇數(shù)，8/3/2021練習(xí)證明：Z[x]中(2,x)不是主理想;Q[x]中(2,x)是主理想.8/3/2021三、商環(huán)設(shè)為環(huán)，為的理想.則是的加群意義下的不變子群:（2）①，則②（3）（1）為在中的一個(gè)陪集:（4）的加法與乘法:則關(guān)于如上所定義的運(yùn)算構(gòu)成環(huán).，負(fù)元：零元：8/3/2021定義6稱環(huán)為商環(huán)，也稱為環(huán)的模理想的剩余類環(huán).為交換環(huán),則也是交換環(huán).有單位元,則也有單位元,且如如8/3/20
4、21例4設(shè)為大于1的正整數(shù),則為的理想,從而有商環(huán)即商環(huán)就是模的剩余類環(huán).8/3/2021例5設(shè)為高斯整環(huán),試確定解：從而,對(duì)任意的為偶數(shù),則為奇數(shù),則所以，這是一個(gè)僅有兩個(gè)元素的域.如果如果8/3/2021
