函數(shù)可積絕對(duì)可積及平方可積的討論

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1、萬方數(shù)據(jù)20嘿誓¨曼月．河．北一工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)Ju。．2002——墅鯊L_—————塑堅(jiān)墜蘭坐望蘭塑蘭豎!墮堅(jiān)堡!豎壘型里!蘭型型!暨壘蘭嬰豎蘭魚蘭墮!；i文章編號(hào)：l008—3782(2002)()2—0043一03函數(shù)可積絕對(duì)可積及平方可積關(guān)系的討論王洪林(河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)部，河北滄州061001)摘要：介紹了在定積分和廣義積分中函數(shù)，(z)可積與l，(z)1可積以及尸(z)可積，三者之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞：可積；收斂；發(fā)散中圖分類號(hào)：0172．2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A學(xué)過數(shù)學(xué)分析的讀者都知道，在定積分(常義積分)中，若函數(shù)／(z)可積，則J／(z)}也可積，但

2、反之不成立。而在廣義積分中情況剛好相反，即若l廠(z)I可積，則由柯西收斂準(zhǔn)則可以證明廠(z)也可積，反之不成立。關(guān)于這兩個(gè)命題，在～般數(shù)學(xué)分析參考書中都給予嚴(yán)格證明，這里不再重復(fù)。對(duì)于這兩個(gè)命題之逆不真，日J(rèn)舉例說咧。在定積分下：例1設(shè)．廠(z)：f1'當(dāng)z為有理數(shù)，I-l，當(dāng)z為元理數(shù)．該函數(shù)在[o，1]的任何區(qū)間上，振幅刨=2，從而手q△五=2其極限不為零，可知rl廠(z)dz不可積。但l廠(z)I一1，顯然』j1廠(z)Idz可積。在廣義積分下，j?！彼嚵薲z由狄利克來判別法知道它是收斂的，但是f?。l警Idz卻是發(fā)散的。。，，奎中除討論在定積分和廣義積分情況下，廠(

3、z)與l廠(z)l可積性關(guān)系外，還將討論它們與尸(z)的可積性關(guān)系?！?’1定積分中，(x)，，2(x)，j，(x)I的可積性之間的關(guān)系‘1’若定積分j。廠(z)dz存在，則J!I廠(z)Jdz也必存在。反之不真。(2)若廠(z)在_，6]上可積，則f：戶(z)dz也必存在。利用定積分存在的充要條件可證明結(jié)論：若廠b)和g(z)在_，6]上可積，則必有f廠(z)g(z)dz存在。而f尸(∽dz=f廠(劫·廠(z)dz，所以若f廠(z)dz存在，則必有，：廠z(z)dz存在。農(nóng)i逆命題不真，即f尸(∽d．z存在，未必有f廠(z)dz存在(參看例1)。(3)J／(。’)f可積，等

4、價(jià)于尸(z)可積。1’若1廠‘z’；在豳，6]上可積，因尸(丁)一1／’(z)1·1廠(z)l，由結(jié)論(2)知必有f6戶(z)dz存在。2)若f尸(z)dz存在，則rl廠(∽Jdz也存在。收稿日期：2000—12—05作者簡(jiǎn)介：王洪林(1963-)，男，河北滄縣人，河北工程技術(shù)高等?？茖W(xué)校講師。萬方數(shù)據(jù)44河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)證明：因f／’2(∽dz存在，故對(duì)任意￡o，對(duì)任意分割7’，只要II丁《<艿，就有∑(M，一7”，)△·rr<82這里M川”，分別為相應(yīng)區(qū)間△。上的廠2(z)的上、下確界，顯然M，≥鞏≥o而h／1(z)ld，r—f6、／7=百萬d丁

5、，只要證明∑(刃甌一／瓦)△tt—o即可。事實(shí)上，對(duì)上述s以及分割丁，凡是分割區(qū)間厶中Ml<￡2的那些區(qū)間，不妨記為△一則必有∑(棚甌一廄i)△z。，<￡(6一日)凡是△。中的M≥e2的那些區(qū)間，不妨記為△，。，則∑(棚甌～佤)舡，一∑_絲二罷△即，，√^4一+√，珊)≤等半缸，≤÷手(M—m。)缸。

6、2，(x)與，2(x)的可積性關(guān)系廠(z)可積是否有尸(z)可積，反之又如何呢?例2r嘗dz收斂，但r學(xué)dz發(fā)散。例3』：去收斂，但膽發(fā)散。反之，如果尸(z)可積，對(duì)無界函數(shù)廣義積分有，(z)也可積(由j廠(z)j≤L掣，利用比較審斂法知1廠(z)；必可積，從而也有，(z)可積)。而對(duì)無窮區(qū)間廣義積分未必有廠(z)可積，見下例。例4r爭(zhēng)收斂，但r爭(zhēng)發(fā)散。2．3廠z(x)與l廠(x){的可積性關(guān)系在無界函數(shù)廣義積分中由上述討論已知，若尸(z)可積，則J廠(z)j必可積。而在無窮區(qū)間廣義積分中，尸(z)可積，I廠(z)I未必可積(參看例4)?，F(xiàn)考察j廠(z)l可積，廠2(z)是否

7、可積。我們發(fā)現(xiàn)兩類廣義積分均不一定可積。例5f1三dz收斂，但r去d．r發(fā)散。Joz百Joz言l門2，例6設(shè)廠(z)一