第23講函數(shù)可積條件2009

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1、《數(shù)學(xué)分析I》第23講教案第23講可積條件及可積函數(shù)類授課題目可積條件及可積函數(shù)類教學(xué)內(nèi)容1.函數(shù)可積的必要條件；2.函數(shù)可積的第一、二充要條件；3.可積函數(shù)類（最基本三種）；4.黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性.教學(xué)目的和要求通過(guò)本次課的教學(xué)，使學(xué)生能理解函數(shù)可積的必要條件，函數(shù)可積的第一、二充要條件，學(xué)會(huì)證明連續(xù)函數(shù)，只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性問(wèn)題，了解黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性的證明方法.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)可積的第一、二充要條件，可積函數(shù)類（三種）；教學(xué)難點(diǎn)：函

2、數(shù)可積的第一、二充要條件.教學(xué)方法及教材處理提示(1)理解定積分的第一、二充要條件是本節(jié)的重點(diǎn)．(2通過(guò)證明連續(xù)函數(shù)，只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)積分第一、二充要條件的理解和掌握.(3關(guān)于黎曼（Rieman）函數(shù)的可積性的證明只作出一些提示，要求較好學(xué)生能理解，在習(xí)題課種再討論.作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材:1，2，3，4.講授內(nèi)容一、可積的必要條件定理9．2若函數(shù)在上可積，則在上必定有界．證：用反證法．若在上無(wú)界，則對(duì)于的任一分割，必存在屬于的某個(gè)小區(qū)間上無(wú)界．在各個(gè)小區(qū)間上任

3、意取定，并記現(xiàn)對(duì)任意大的正數(shù)，由于在上無(wú)界，故存在，使得于是有由此可見，對(duì)于無(wú)論多小的，按上述方法選取點(diǎn)集時(shí)，總能使積分和的絕對(duì)值大于任何預(yù)先給出的正數(shù)，這與在上可積相矛盾．例1（有界函數(shù)不一定可積）證明狄利克雷函數(shù)，在上有界但不可積．證：顯然，對(duì)于的任一分割，由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，在屬于4《數(shù)學(xué)分析I》第23講教案的任一小區(qū)間上，當(dāng)取全為有理數(shù)時(shí)，；當(dāng)取全為無(wú)理數(shù)時(shí)，．所以不論多么小，只要點(diǎn)集取法不同(全取有理數(shù)或全取無(wú)理數(shù))，積分和有不同極限，即在上不可積．由此可見，有界是可積的必要

4、條件．以后討論函數(shù)的可積性時(shí)，總是假設(shè)函數(shù)是有界的．二、可積的充要條件要判斷一個(gè)函數(shù)是否可積，固然可以根據(jù)定義，直接考察積分和是否能無(wú)限接近某一常數(shù)，但由于積分和的復(fù)雜性和那個(gè)常數(shù)不易預(yù)知，因此這是極其困難的．下面即將給出的可積準(zhǔn)則只與被積函數(shù)本身有關(guān)，而不涉及定積分的值．設(shè)為對(duì)的任一分割．由在上有界，它在每個(gè)上存在上、下確界：作和分別稱為關(guān)于分割的上和與下和(或稱達(dá)布上和與達(dá)布下和，統(tǒng)稱達(dá)布和)．任給，顯然有與積分和相比較，達(dá)布和只與分割有關(guān)，而與點(diǎn)集無(wú)關(guān)．通過(guò)討論上和與下和當(dāng)時(shí)的極限來(lái)揭示在上是

5、否可積．所以，可積性理論總是從討論上和與下和的性質(zhì)入手的．定理9．3(可積準(zhǔn)則)函數(shù)在上可積的充要條件是：任給,總存在相應(yīng)的一個(gè)分割，使得設(shè)稱為在上的振幅，有必要時(shí)也記為。由于S()－(或記為)，因此可積準(zhǔn)則又可改述如下：定理函數(shù)在上可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的某一分割，使得幾何意義是：若在上可積，則包圍曲線的一系列小矩形面積之和可以達(dá)到任意小，只要分割充分地細(xì)；反之亦然．三、可積函數(shù)類根據(jù)可積的充要條件，我們證明下面一些類型的函數(shù)是可積的(即可積的充分條件)．定理9．4若為上的連續(xù)函數(shù)，則

6、在上可積．4《數(shù)學(xué)分析I》第23講教案證：由于在閉區(qū)間上連續(xù)，因此在上一致連續(xù)．這就是說(shuō)，任給，存在0，對(duì)中任意兩點(diǎn)，只要，便有所以只要對(duì)所作的分割滿足，在丁所屬的任一小區(qū)間上，就能使的振幅滿足從而導(dǎo)致，由定理，證得在上可積．定理9．5若是區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上可積．，證：不失一般性，這里只證明在上僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的情形，并設(shè)該間斷點(diǎn)即為端點(diǎn)．任給，取，滿足，且，其中與分別為在上的上確界與下確界(設(shè)，否則為常量函數(shù)，顯然可積)．記在小區(qū)間上的振幅為，則，因?yàn)樵谏线B續(xù)，由定理9．4知在

7、上可積．再由定理9．3，(必要性)，存在對(duì)的某個(gè)分割，使得令，則是對(duì)的一個(gè)分割，對(duì)于，有根據(jù)定理9.3(充分性)，證得在上可積．定理9.6若是上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積．證：設(shè)為增函數(shù)，且，則為常量函數(shù)，顯然可積．對(duì)的任一分割，由的增性，在所屬的每個(gè)小區(qū)間上的振幅為于是有由此可見，任給，只要這時(shí)就有所以在上可積．注意：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)即使有無(wú)限多個(gè)間斷點(diǎn)，仍不失其可積性．4《數(shù)學(xué)分析I》第23講教案例2試用兩種方法證明函數(shù)在區(qū)間上可積．證：[證法一]由于是一增函數(shù)，雖然它在上有無(wú)限多個(gè)間斷點(diǎn)但由定理9.5，仍

8、保證它在上可積．[證法二](僅利用定理9.3，和定理9.5)任給，由于，因此當(dāng)充分大時(shí)，這說(shuō)明在上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)．利用定理9．5和定理9．3，推知在上可積，且存在對(duì)的某一分割，使得在把小區(qū)間與合并,成為對(duì)的一個(gè)分割.由于在上的振幅，因此得到.所以在上可積．例3證明黎曼函數(shù)在區(qū)間上可積，且分析：已知黎曼函數(shù)在，以及一切無(wú)理點(diǎn)處連續(xù)，而在內(nèi)的一切有理點(diǎn)處間斷．證明它在上可積的直觀構(gòu)思如下：在黎曼函數(shù)的圖象中畫一條水平直線,在此直線上方只有函數(shù)圖象中有限個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)