3.3 垂徑定理

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1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書浙江版《數(shù)學(xué)》九年級上冊3.3垂徑定理請觀察下列三個(gè)銀行標(biāo)志有何共同點(diǎn)?在白紙上任意作一個(gè)圓和這個(gè)圓的任意一條直徑CD,然后沿著直徑所在的直線把紙折疊,你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論：圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。強(qiáng)調(diào)：1.圓的對稱軸是直線，不能說每一條直徑都是圓的對稱軸2.圓的對稱軸有無數(shù)條．OCD合作學(xué)習(xí)如圖,AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O直徑.思考OCDABE(1)該圖是軸對稱圖形嗎？(2)能不能通過改變AB、CD的位置關(guān)系,使它成為軸對稱圖形?合作學(xué)習(xí)在剛才操作的基礎(chǔ)上,再作一條和直徑CD垂直的弦AB,AB與CD相交于點(diǎn)E,然后

2、沿著直徑CD所在的直線把紙折疊,你發(fā)現(xiàn)哪些點(diǎn)、線、弧互相重合?能夠重合的圓弧叫做相等的圓弧,那么在右圖中,哪些圓弧相等?請用命題的形式表述你的結(jié)論.ABEOCD分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn),叫做這條弧的中點(diǎn).ABCDOE歸納得出：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的?。ɡ淼膸缀握Z言∵CD為直徑，CD⊥AB∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒OC⊥AB條件CD為直徑CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧AB結(jié)論理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根據(jù)圓的軸對稱性，可得射線EA與EB重合，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC和弧BC重合，弧A

3、D和弧BD重合．∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒思考：你能利用等腰三角形的性質(zhì)，說明OC平分AB嗎？OCDABE已知：CD為直徑，CD⊥AB求證：EA=EB，AC=BC，AD=BD︵︵︵︵●OABCDM└●OABCM└●OABM└●OABCDM└辨一辨．ABCODE辨一辨如圖，AB是⊙0的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC⌒⌒C如圖，AB是AB所對的弦，AB的垂直平分線DG交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，給出下列結(jié)論：⌒⌒②AG=BG①DG⊥AB其中正確的是_____

4、___（只需填寫序號）①②③③BD=AD⌒⌒辨一辨例1、如圖，一條排水管的截面。已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。C1088解:作OC⊥AB于C,由定理得:AC=BC=1/2AB=0.5×16=8由勾股定理得:圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距如上圖中的OC的長就是弦AB的弦心距答:截面圓心O到水面的距離為6。變式：如圖，一條排水管的截面。已知水面寬AB=16，水深為4，求排水管的半徑。DC1088例2、已知AB如圖，用直尺和圓規(guī)求作這條弧的中點(diǎn)?！蠩1.連結(jié)AB;⌒2.作AB的垂直平分線CD,交AB與點(diǎn)E;作法:∴點(diǎn)E就是所求AB

5、的中點(diǎn).⌒分析:要平分AB,只要畫垂直于弦AB的直徑.而這條直徑應(yīng)在弦AB的垂直平分線上.因此畫AB的垂直平分線就能把AB平分.⌒⌒變式一：求弧AB的四等分點(diǎn)．CDABEFGmn求弧AB的四等分點(diǎn)．CDABＭFG錯(cuò)在哪里？1．作AB的垂直平分線CD2．作AT、BT的垂直平分線EF、GHＴＥＮＨＰ強(qiáng)調(diào)：等分弧時(shí)一定要作弧所對的弦的垂直平分線．變式二：你能確定弧AB所在圓的圓心嗎？OABCab方法：只要在圓弧上任意取三點(diǎn)，連結(jié)兩條弦，畫這兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓弧所在圓的圓心．畫一畫●O●M1、如圖,M為⊙O內(nèi)的一點(diǎn),利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點(diǎn)M.并且使AM=

6、BM.你能畫過點(diǎn)M最長的弦呢?你還能畫過點(diǎn)M最短的弦呢?例3、已知：如圖，線段AB與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，且OA=OB．求證：AC=BD．證明:作OM⊥AB，垂足為M,則CM=DM∵OA=OBOM⊥AB∴AM=BM∴AM-CM=BM-DM即AC=BD．OABCMD1、已知⊙O的半徑為13cm，圓心O到弦AB的弦心距為5cm，求弦AB的長。做一做2、在半徑為50㎜的圓O中，有長50㎜的弦AB，計(jì)算：⑴點(diǎn)O與AB的距離；⑵∠AOB的度數(shù)。3、過⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（）A．3B．6cmC．cmD．9cmA4、如圖，⊙O的直徑為10，

7、弦AB長為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM的長的取值范圍是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3