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1、波動率Chapter9一、波動率的定義1、某個變量的波動率σ定義為這一變量在單位時間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標準差一般來講，波動率為，當T很小時它是的標準差。假設(shè)Si為市場變量的時間i的價格，每天的波動率為的標準差2、研究證明在交易所開盤交易時的波動率比交易所關(guān)閉時的波動率要大很多，因此，當由歷史數(shù)據(jù)估計波動率時，分析員常常忽略交易所關(guān)閉的天數(shù)，在計算時通常假定每年有252個交易日，年波動率是日波動率的倍方差被定義為波動率的平方。年波動率與天波動率的關(guān)系為，即每天波動率大約為年波動率的6%。二、隱含波動率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到得一個參數(shù)就是股票價格的波動率。隱含波動率是交易員
2、從期權(quán)價格隱含反推計算出的波動率。隱含波動率是把期權(quán)的價格代入BS模型中反算出來的，它反映了投資者對未來標的證券波動率的預(yù)期。C表示期權(quán)理論價格，X表示行權(quán)價格，S表示正股價格，t表示權(quán)證的剩余期限，r表示無風險利率，N()表示正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)。由于期權(quán)定價模型給出了期權(quán)價格與五個基本參數(shù)（St，X，r，T-t和σ）之間的定量關(guān)系，只要將其中前4個基本參數(shù)及期權(quán)的實際市場價格作為已知量代入期權(quán)定價模型，就可以從中解出惟一的未知量σ，其大小就是隱含波動率。因此，隱含波動率又可以理解為市場實際波動率的預(yù)期。但事實上，不能直接反解BS模型，并將波動率定義為期權(quán)價格以及
3、其它變量的函數(shù)，但可以通過多次的迭代的方法來求解隱含波動率。VIX指數(shù)VIX指數(shù)是S&P500指數(shù)的波動率指數(shù)三、金融變量的日變化量是否服從正態(tài)分布RealWorld(%)NormalModel(%)>1SD25.0431.73>2SD5.274.55>3SD1.340.27>4SD0.290.01>5SD0.080.00>6SD0.030.00肥尾性匯率的每日變化量并不服從正態(tài)分布所服從分布的尾部比正態(tài)分布的尾部要肥大其峰值要比正態(tài)分布的峰值要高（"尖峰“說明數(shù)據(jù)位于分布中心附近的幾率較小，所以才有”厚尾“：數(shù)據(jù)很大或者很小的比較多。）肥尾分布所對應(yīng)的極大及極小變化數(shù)量事件
4、比在正態(tài)分布中相應(yīng)數(shù)量要多很多市場變量都有這種被稱為肥尾的特性補充：正態(tài)分布一種概率分布，也稱“常態(tài)分布”。正態(tài)分布具有兩個參數(shù)μ和σ^2的連續(xù)型隨機變量的分布，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機變量的均值，第二個參數(shù)σ^2是此隨機變量的方差，所以正態(tài)分布記作N（μ，σ^2）。服從正態(tài)分布的隨機變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大，而取離μ越遠的值的概率越?。沪以叫?，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布和肥尾分布四、估計波動率的標準方法定義sn為第n-1天所估計的市場變量在第n天的波動率定義Si為市場變量在第i天末的價格定義簡化形式定義假定的均值為0m-1被m代替于
5、是方差公式簡化為五、加權(quán)權(quán)重的格式對等權(quán)重進行改進其中六、ARCH（M）模型在ARCH（m）模型中，我們也給長期平均方差設(shè)定權(quán)重：其中七、指數(shù)加權(quán)移動平均（EWMA）模型在指數(shù)加權(quán)移動平均模型中，其權(quán)重隨著回望時間加長而按指數(shù)速度遞減EWMA的誘人之處需要的數(shù)據(jù)相對較少僅需記憶對當前波動率的估計以及市場變量的最新觀察值對波動率進行跟蹤監(jiān)測RiskMetrics采用λ=0.94來更新每天波動率的估計八、GARCH（1,1）在GARCH（1，1）中，我們賦予長期平均方差一定的權(quán)重因為權(quán)重之和為1，故有令，可以將GARCH（1,1）模型寫成其中例9-5若每天長期平均方差為0.000
6、2，對應(yīng)的波動率為1.4%假設(shè)對應(yīng)于n-1天的日波動率估算值為1.6%，n-1天市場價格降低1%，則第n天的方差為新波動率的最新估計為每天1.53%
