反常積分——反常積分的概念和計(jì)算

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1、二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第一節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無(wú)窮限的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分的概念和計(jì)算第八章一、無(wú)窮限的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)的無(wú)窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并

2、非不定型,說(shuō)明:上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.例2.證明第一類p積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時(shí),反常積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、無(wú)界函數(shù)的反

3、常積分引例:曲線所圍成的與x軸,y軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義2.設(shè)而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則稱此極限為函若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說(shuō)明:而在點(diǎn)c的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義

4、積分,則定義注意:若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若b為瑕點(diǎn),則若a為瑕點(diǎn),則若a,b都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.計(jì)算反常積分解:顯然瑕點(diǎn)為a,所以原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.例6.證明反常積分證:當(dāng)q=1時(shí),當(dāng)q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)q≠1時(shí)所以當(dāng)q<1時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)q≥1時(shí),該廣義積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.解：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故I為反常積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

5、內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:(1)有時(shí)通過(guò)換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.備用題試證,并求其值.解:令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束