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1、§1反常積分概念一、反常積分的背景反常積分討論的是無窮區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分，是定積分概念的推廣.二、兩類反常積分的定義返回一、反常積分的背景在討論定積分時(shí)有兩個(gè)最基本的條件：積分區(qū)間但以下例子告訴我們有時(shí)我們需要考慮無窮區(qū)間例1(第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火的有窮性;被積函數(shù)的有界性.上的“積分”或無界函數(shù)的“積分”.箭,要使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球,試問初速度v0至少要多大？解設(shè)地球半徑為R,火箭質(zhì)量為m,地面上的重處火箭所受的引力為于是火箭從地面上升到距地心為 處需作功力加速度為g,按萬有引力定理,在距
2、地心時(shí),其極限mgR就是火箭無限遠(yuǎn)離地由機(jī)械能守恒定律可求初速度 至少應(yīng)使球需作的功．于是自然把這一極限寫作上限為例2圓柱形桶的內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為R,桶底有在時(shí)間dt內(nèi),桶中液面降低的微小量為dx,它們解桶內(nèi)水位高度為時(shí),流出水的速度為一半徑為r的小孔．試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水,共需多少時(shí)間？因此之間應(yīng)滿足于是流完一桶水所需時(shí)間為但由于被積函數(shù)是上的無界函數(shù),所以它的確切含義為二、兩類反常積分的定義區(qū)間[a,u]上可積.若存在極限則稱此極限J為函數(shù)f在上的無窮限反定義1設(shè)函數(shù)f定義在[a,+?)上,且在任何有限常
3、積分(簡(jiǎn)稱無窮積分),記作類似定義域內(nèi)無界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間[u,b]上有界且可積.如果存在極限定義2設(shè)函數(shù)f定義在(a,b]上,在a的任意右鄰則稱此極限為無界函數(shù)f在(a,b]上的反常積分,類似定義瑕點(diǎn)為b時(shí)的瑕積分通常稱a為f的瑕點(diǎn).記作其中f在[a,b)有定義,在b的任一左鄰域內(nèi)無界,若f的瑕點(diǎn),定義在任何上可積.例1討論無窮積分解無窮積分的牛頓－萊布尼若f(x)的原函數(shù)為F(x),解例2討論無窮積分因此茨公式寫作例3討論瑕積分的收斂性.解同樣,若f(x)的原函數(shù)為F(x),瑕積分的牛頓-萊例4計(jì)算瑕積分解的瑕點(diǎn)為0.因此,
4、布尼茨公式寫作是否必有上非負(fù)連續(xù),是否可推得收斂?上定義,且復(fù)習(xí)思考題上非負(fù)連續(xù),且收斂,
