《量子力學(xué)導(dǎo)論Cha》PPT課件

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1、§4.2厄米算符的本征值、本征函數(shù)以及共同本征函數(shù)1、漲落對于都用量子態(tài)?來描述的大量相同的體系，如果對某一力學(xué)量A進(jìn)行多次測量，所得結(jié)果的平均值將趨于一個確定的值，而每次測量結(jié)果都圍繞這個平均值有個漲落，在數(shù)學(xué)上定義為：2、本征態(tài)與本征值（1）本征態(tài)有一種特殊的狀態(tài)，測量力學(xué)量A的結(jié)果是唯一確定的，即漲落為零，這種特殊的態(tài)就是本征態(tài)。（2）本征方程與本征值A(chǔ)n稱為A的本征值，?n為相應(yīng)的本征態(tài)。量子力學(xué)假定測量力學(xué)量A時所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的線形厄米算符A的本征值。當(dāng)體系處于A的本征態(tài)?n，則每次測量所得結(jié)果都是An。3、兩條

2、定理（1）厄米算符的本征值都為實數(shù)證：（2）屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交4、能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理簡并是指本征值相同，但本征態(tài)不一樣。特別是，當(dāng)能量本征值一樣，但能量本征態(tài)卻完全不一樣。能級簡并時，僅根據(jù)能量本征值并不能把各簡并態(tài)確定下來。能級簡并時本征函數(shù)的正交化處理過程出發(fā)點分析：在出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)的選擇是不唯一的，并且這些簡并態(tài)不一定彼此正交。但可以將這些簡并態(tài)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木€形疊加以實現(xiàn)彼此正交。fn個中任選兩個，；再自身加上歸一化要求，fn個5、共同本征函數(shù)（1）測不準(zhǔn)關(guān)系與共同本征態(tài)體系處于力學(xué)量A的本征態(tài)時，對

3、A進(jìn)行測量，可以得到無漲落的、確切的值，即本征值。若在該本征態(tài)下去測量另一個力學(xué)量B，是否也能測到確切值呢？不一定。例如考慮波粒二像性，空間坐標(biāo)和動量之間就不可能同時完全確定。普遍情形是此乃任意兩個力學(xué)量A和B在任何量子態(tài)下的漲落必然要滿足的關(guān)系式，即測不準(zhǔn)關(guān)系式。證明:共同本征態(tài)：從測不準(zhǔn)關(guān)系可以看出，如果兩個力學(xué)量A和B不對易，則一般來講?A和?B不能同時為零，A和B不能同時測定（除了這一種特殊態(tài)例外）。就是說，二者沒有共同的本征態(tài)。反之，如果這兩個力學(xué)量對應(yīng)的厄米算符對易，即，則可以找出一種態(tài)使得二者可以同時測定，即可以找出二者

4、的共同本征態(tài)。（2）求共同本征函數(shù)的一般原則分兩種情況討論An無簡并(b)An有簡并6、力學(xué)量完全集（1）定義設(shè)有一組彼此獨立、相互對易的厄米算符它們具有共同本征函數(shù)，記為?k，k是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。設(shè)給定k之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.（2）波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個狀態(tài)?均可用?k展開，表示在?態(tài)下測量A得到Ak值的幾率。這是波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的最一般的數(shù)學(xué)描述。例如，一維線性諧振子，哈密頓量本身就構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。它的本征函數(shù)為?n，n=0,1,2,…,

5、就構(gòu)成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一個態(tài)?均可用它們進(jìn)行展開，表示在?下測得振子能量為En的幾率。（3）含哈密頓量H的力學(xué)量完全集如果力學(xué)量完全集中包含哈密頓量H，并且H有下界，則這組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)構(gòu)成該體系的態(tài)空間的一組完備的基矢，體系任何一個狀態(tài)均可用這組基矢展開。實際物理體系的H（能量）的本征值都包含在這組力學(xué)量完全集的本征值之中。體系的任何態(tài)都可用包含H在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來展開。如果H不顯含時間，這組力學(xué)量完全集稱為守恒量完全集，將產(chǎn)生一組好量子數(shù)。在量子力學(xué)中尋找體系守恒量完全集是極其

6、重要的。（4）力學(xué)量算符表達(dá)之總結(jié)在量子力學(xué)中，力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符表達(dá)平均值實驗上觀測A的可能取值，必為算符的某一本征值力學(xué)量之間的關(guān)系用相應(yīng)的算符之間對易關(guān)系反映出來。（一般而言，兩個力學(xué)量A和B同時具有確定的測量值的必要條件是二者之間完全對易，即）7、(l2，lz)的共同本征態(tài)和球諧函數(shù)（1）概述角動量l的三個分量彼此不對易，因為三分量一般沒有共同本征態(tài)，但考慮到可以找到l2與角動量任何一個分量（如lz）的共同本征態(tài)。此外，在中心力場問題中，可以證明因此，體系守恒量完全集可以選擇為(H,l2,lz).（2）lz的本征方程、

7、本征值和本征函數(shù)（3）(l2，lz)的共同本征態(tài)因為，l2的本征態(tài)可同時取為lz的本征態(tài).因為?和?相互獨立，所以l2的本征函數(shù)可分離變量?；喓蟮玫竭@是締合勒讓德（或連帶Legendre）方程。方程的兩個奇點在?=?1；在其余

8、?

9、<1區(qū)域為常點?？梢宰C明（級數(shù)解法），只有當(dāng)時，方程的解才截斷為多項式，解為締合勒讓德多項式它在物理上可以接受，是有界的。最終(l2，lz)的正交歸一的共同本征函數(shù)為Ylm為球諧函數(shù)（4）討論l2和lz的本征值都是量子化的；l＝0，1，2…為軌道角動量量子數(shù)；對于給定的l值，l2的本征函數(shù)是不確定的，因為

10、m有2l+1個取值，它有（2l+1）個簡并態(tài)；m＝l，l-1，…，-(l-1)，-l稱為磁量子數(shù)；利用引入的磁量子數(shù)可將這些簡并態(tài)區(qū)分開來，導(dǎo)致Ylm球諧函數(shù)。光譜符號：l＝0，1，2，3，4，5，…s，p，d，f，g，