量子力學(xué)導(dǎo)論Cha

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1、第六章中心力場內(nèi)容提要1、中心力場的一般性質(zhì)角動量守恒與徑向方程徑向波函數(shù)的漸近行為兩體問題向單體的轉(zhuǎn)化2、球方勢阱無限深球方勢阱有限深球方勢阱3、氫原子能量本征方程、本征值和本征波函數(shù)能級簡并度徑向位置幾率分布幾率分布與角度的關(guān)系電流分布與磁矩4、類氫原子5、三維各向同性諧振子球坐標(biāo)下的本征方程及解和性質(zhì)直角坐標(biāo)系下本征方程及解自然界中中心力場是個廣泛的問題；中心力場中運動的粒子保持角動量守恒，無論是經(jīng)典力學(xué)還是量子力學(xué)都是如此?，F(xiàn)看經(jīng)典力學(xué)情形:§6.1中心力場的一般性質(zhì)1、角動量守恒與徑向

2、方程離心“勢能”體系波函數(shù)：代入體系本征方程，分離變量后得徑向波函數(shù)R(r)方程：或令Rl(r)=?(r)/r，代入徑向波函數(shù)方程，化簡后得討論：所有中心力場中粒子的定態(tài)波函數(shù)僅差別在于徑向波函數(shù)Rl(r)或?(r)，二者由V(r)的性質(zhì)決定，與角度有關(guān)波函數(shù)就是球諧函數(shù)Ylm；徑向方程中不出現(xiàn)磁量子數(shù)m，能量本征值E與m無關(guān)，有簡并。m的取值有2l+1個，所以中心力場中粒子的能級簡并度一般為2l+1個；l=0時，離心勢能消失，上式與一維粒子的能量本征方程在形式上相似，但V(r)中的r>0.給定

3、邊界條件就可求解徑向方程，得出能量本征值。非束縛態(tài)，E連續(xù)變化；束縛定態(tài)，E取分立的能量本征值。由于束縛態(tài)邊界條件，將出現(xiàn)新的徑向量子數(shù)nr，nr=0，1，2，…，代表徑向波函數(shù)的節(jié)點數(shù)（節(jié)點不包括0和+?）。由于哈密頓量中有徑向動能項和離心勢能項，可見，E既依賴與nr又依賴與l，記為按照光譜學(xué)的習(xí)慣，將l=0，1，2，3，4，5，6，…分別標(biāo)記為s，p，d，f，g，h，i，…2、徑向波函數(shù)的漸近行為因此，在求解徑向方程時，3、兩體問題向單體的轉(zhuǎn)化實際的中心力場問題常常是兩體問題。(1)基本考慮

4、I、一個具有折合(約化)質(zhì)量的粒子在場中的運動;II、二粒子作為一個整體的質(zhì)心運動。(2)數(shù)學(xué)處理質(zhì)心坐標(biāo)相對坐標(biāo)m1+r1r2rRm2oyzx分量表達(dá)式：令R＝(X,Y,Z),r=(x,y,z)又因為轉(zhuǎn)到質(zhì)心和相對坐標(biāo)系中其中?=m1m2/(m1+m2)，約化質(zhì)量；M＝m1+m2，二體的總質(zhì)量。最終相對坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)下的薛定諤方程為：由于沒有交叉項，波函數(shù)可采用分離變量表示為：將該式帶入上式，兩邊同時除以?(r)?(R)，即可得到關(guān)于質(zhì)心運動波函數(shù)和相對運動波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程。其中，

5、E＝ET－EC，EC表示質(zhì)心運動能量。只與R有關(guān)只與r有關(guān)相對運動能量討論：對氫原子，感興趣的是描述其內(nèi)部狀態(tài)的第一個方程，它描述一個約化質(zhì)量為?的粒子在勢能為V(r)的力場中的運動。這是一個電子相對于核運動的波函數(shù)?(r)所滿足的方程，相對運動能量E就是電子的能級。第二式是質(zhì)心運動方程，描述能量為EC＝(ET-E)的自由粒子的定態(tài)薛定諤方程，說明質(zhì)心以能量(ET-E)作自由運動。1、無限深球方勢阱只有束縛態(tài)(1)s態(tài)(l=0)徑向方程§6.2球方勢阱a邊界條件：?0(0)=0，?0(a)=0勢

6、阱內(nèi)方程滿足邊界條件的解為(2)非s態(tài)(l?0)徑向方程邊界條件：Rl(a)=0。作無量綱變換，令?=kr，其中(E>0)。上式變?yōu)榍蜇惾麪?Bessel)方程通解有兩個：但根據(jù)邊界條件r?0,??0，Rl(?)?0。所以，在球方勢阱中的解只能為球貝塞爾函數(shù)再由邊界條件Rl(a)=0來確定能量本征值，即由于a取有限值，k只能一系列的取分立值。記jl(x)=0的根為則本征函數(shù)及其正交歸一性2、有限深球方勢阱既有束縛態(tài)(E<0)，也有擴(kuò)展態(tài)(E>0)。徑向方程現(xiàn)只考慮束縛態(tài)，即E<0的情形。令V(r

7、)r0-V00aE則勢阱內(nèi)外徑向方程可改寫為球內(nèi)區(qū)域(ra)解:其中，hl(x)為虛宗量漢克(Hankel)函數(shù)再根據(jù)波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)在r=a處連續(xù)的條件，可定出能量本征值E。以l=0為例，由此可定出能量本征值的方程為超越函數(shù)，圖解法可解出分立的能量本征值。與半壁無限高勢壘相似。還可以證明至少有一條束縛能級的條件是