受扭桿的強(qiáng)度和剛度

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1、【內(nèi)容提要】本章介紹切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形，以及強(qiáng)度和剛度計(jì)算。簡(jiǎn)單介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形。1.理解切應(yīng)力互等定理。2.理解剪切胡克定律。3.掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算以及變形和剛度計(jì)算?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院第9章受扭桿的強(qiáng)度和剛度四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院4.掌握矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算以及變形和剛度計(jì)算?！?－1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算9－1－1圓軸扭轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)1.扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析圖a所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網(wǎng)格。在彈性范圍內(nèi)，扭轉(zhuǎn)變形

2、后（圖b），可以觀察到以下現(xiàn)象：四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院（1）各縱向線都傾斜了一個(gè)微小的角度，矩形網(wǎng)格變成了平行四邊形。（2）各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推斷：①由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設(shè)圓軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)。②由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應(yīng)力。③由于矩形網(wǎng)格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，故可推斷橫截

3、面上必有切應(yīng)力τ，且切應(yīng)力的方向垂直于半徑。④由于各縱向線都傾斜了一個(gè)角度，故各矩形網(wǎng)格的直角都改變了角，直角的改變量稱為切應(yīng)變。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院2.切應(yīng)力互等定理設(shè)矩形網(wǎng)格ABCD沿縱向長為dx，沿圓周向長為dy，以它作為一個(gè)面，再沿半徑方向取長為dz，截出一個(gè)微小正六面體，稱為單元體，如圖所示。由平衡方程，得(τdydz)dx=（τ′dxdz）dy故τ=τ′四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院上式表明，在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，方向共同指向或背離該兩面的交線。這一結(jié)論稱為切應(yīng)力互等定理。單

4、元體的兩對(duì)面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力，這種應(yīng)力情況稱為純剪切。3.剪切胡克定律當(dāng)切應(yīng)力τ未超過材料的剪切比例極限τp時(shí)，切應(yīng)力τ與其切應(yīng)變?chǔ)贸烧?。?GγG稱為材料的切變模量。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院9－1－2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力大小的計(jì)算公式T——橫截面上的扭矩，以絕對(duì)值代入；?——橫截面上欲求應(yīng)力的點(diǎn)處到圓心的距離；Ip——橫截面對(duì)圓心的極慣性矩四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院當(dāng)=R時(shí)，切應(yīng)力最大，最大切應(yīng)力令則有——扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院圓截面：圓環(huán)形截面：——內(nèi)、外徑的比值。應(yīng)該注意，扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力

5、的計(jì)算公式只適用于圓軸。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院例9－1空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，橫截面上的扭矩T=1.5kN·m。求橫截面上內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力，并繪制橫截面上切應(yīng)力的分布圖。解（1）計(jì)算極慣性矩。極慣性矩為（2）計(jì)算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力分別為四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院9－1－3圓軸的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為例9－2如圖a所示的空心圓軸，外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應(yīng)力[]=50MPa，試對(duì)該軸進(jìn)行強(qiáng)度校核。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院解（1）求危險(xiǎn)

6、截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖b所示，BC段各橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的扭矩為Tmax=4kN·m（2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為軸的最大切應(yīng)力為可見軸是安全的四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院例9－3實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應(yīng)力[t]=20MPa。（1）選擇實(shí)心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內(nèi)外徑比為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實(shí)心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實(shí)心部分與空心部分的重量比。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院解軸承受的外力

7、偶矩為故軸任一橫截面上的扭矩為T=Me=955N·m（1）選擇實(shí)心軸的直徑。由強(qiáng)度條件得（2)選擇空心軸的外徑D2?？招膱A截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院（3）實(shí)心部分與空心部分的重量比為顯然空心軸比實(shí)心軸節(jié)省材料。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院§9－2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算9－2－1圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形通常是用兩個(gè)橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角f來度量。dφ——相距為dx的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角；T——橫截面上的扭矩，以絕對(duì)值代入；G——材料的切變模量；Ip——橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院相距為l的兩橫截面間的扭

8、轉(zhuǎn)角為積分后得GIp稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。工程中通常采用單位長度扭轉(zhuǎn)角，即單位長度扭轉(zhuǎn)角?的單位為rad／m四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院9－2－2圓軸的剛度計(jì)算在實(shí)際工