系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性的判定

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1、系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性的判定倪育德（中國民航大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津300300）1系統(tǒng)的功能系統(tǒng)的功能就是對信號進(jìn)行處理，也就是對信號進(jìn)行某種或某些運(yùn)算。設(shè)某一系統(tǒng)的激勵為e(t)，響應(yīng)為r(t)，則系統(tǒng)的功能就是對激勵e(t)進(jìn)行運(yùn)算，從而給出響應(yīng)r(t)，我們將這種運(yùn)算用T[e(t)]表示，即r(t)＝T[e(t)]，用示意圖表示如下。e(t)r(t)=T[e(t)]T[?]同學(xué)們千萬不要小看了我們引入的這個(gè)符號：r(t)＝T[e(t)]，下面將會看到，它會對我們判斷系統(tǒng)的線性尤其是時(shí)不變性帶來非常大的方便，避免錯誤的發(fā)生。2.實(shí)例e(t)例1：對于某一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，r(t)=a，

2、其中e(t)為激勵，r(t)為響應(yīng)，a為有界常數(shù)（a?0）。試判定系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)不變的。e(t)解設(shè)r(t)=T[e(t)]=a，由此知道，系統(tǒng)對激勵e(t)的運(yùn)算為：將激勵e(t)作為有界常數(shù)a的指數(shù)，便得到輸出r(t)。做這種題時(shí)，同學(xué)們一定要首先確定系統(tǒng)對激勵e(t)進(jìn)行了什么運(yùn)算。1）判斷系統(tǒng)是否為線性的設(shè)激勵為e(t)、e(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)分別為r(t)和r(t)，則：r(t)=T[e(t)]=ae1(t)，r(t)=T[e(t)]=12121122ae2(t)。現(xiàn)將ke(t)+ke(t)作為激勵加入系統(tǒng)（k、k為任意不為0的常數(shù)），系統(tǒng)的響應(yīng)為T[ke(t)+1122

3、1211k2e2(t)]，則T[ke(t)+ke(t)]=ak1e1(t)+k2e2(t)1122而kr(t)+kr(t)=kae1(t)+kae2(t)112212可見T[k1e1(t)+k2e2(t)]?k1r1(t)+k2r2(t)1?系統(tǒng)為非線性的。2)判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變的將e(t－t0)作為激勵加入系統(tǒng)（t0?0），系統(tǒng)的響應(yīng)為T[e(t－t0)]，則T[e(t－t)]＝ae(t-t0)0而r(t－t)=ae(t-t0)0可見T[e(t－t0)]＝r(t－t0)?系統(tǒng)為時(shí)不變的。例2：某一系統(tǒng)的激勵為e(t)，響應(yīng)為r(t)，r(t)=e(1?t)，判斷該系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)

4、不變的。解設(shè)r(t)=T[e(t)]=e(1?t)，由此知道，系統(tǒng)對激勵e(t)的運(yùn)算為：先將激勵反褶，再將反褶的信號往左移動1個(gè)單位。1）判斷系統(tǒng)是否為線性的設(shè)激勵為e1(t)、e2(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)分別為r1(t)和r2(t)，則：r1(t)=T[e1(t)]=e1(1?t)，r2(t)=T[e2(t)]=e2(1?t)?，F(xiàn)將k1e1(t)+k2e2(t)作為激勵加入系統(tǒng)（k1、k2為任意不為0的常數(shù)），系統(tǒng)的響應(yīng)為T[k1e1(t)+k2e2(t)]，則T[k1e1(t)+k2e2(t)]=k1e1(1?t)＋k2e2(1?t)而k1r1(t)+k2r2(t)=k1e1(1?t)

5、＋k2e2(1?t)可見T[k1e1(t)+k2e2(t)]=k1r1(t)+k2r2(t)?系統(tǒng)為線性的。2)判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變的將e(t－t0)作為激勵加入系統(tǒng)（t0?0），系統(tǒng)的響應(yīng)為T[e(t－t0)]，則T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)而r(t－t0)=e[1－(t－t0)]=e(－t+1+t0)可見2T[e(t－t0)]?r(t－t0)?系統(tǒng)為時(shí)變的。注：?有不少同學(xué)不能理解T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)這一步，往往認(rèn)為激勵e(t?t0)時(shí)的響應(yīng)為e(1?t+t0)，從而得出“系統(tǒng)為時(shí)不變”的錯誤結(jié)論。如果我們認(rèn)為“系統(tǒng)就是對激勵進(jìn)行運(yùn)算”，則就很好理

6、解T[e(t－t0)]＝e(－t+1－t0)：對于激勵e(t－t0)，e(t－t0)的反褶信號為e(－t－t0)，再往左移動1個(gè)單位，則得信號e(－t+1－t0)，這就是系統(tǒng)的響應(yīng)。?從上述兩例也可以看出，系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性沒有任何必然的聯(lián)系。線性系統(tǒng)既可以是時(shí)不變的，也可以是時(shí)變的。因?yàn)椤靶盘柵c系統(tǒng)”課程研究的對象是“線性時(shí)不變（LTI）”系統(tǒng)，致使有些學(xué)生認(rèn)為線性系統(tǒng)一定是時(shí)不變系統(tǒng)。3